首页 > 古籍 > 第5部分-御制数理精蕴

第5部分

　　加减乘除原説
　　通曰不用十而用九河图变为洛书加减乘除之数皆从洛生而九数之用备焉加者并也一隂一阳相并而生阳为用故一并六为七七并二为九九并四为十三去十不用所生为三三并八为十一去十不用所生为一数始于阳阳故统隂此加之原也减者去也隂中去阳则六去一为五八去三为五阳中去隂则九去四为五七去二为五边去中存此减之原也乘者积也除者分也一无积分相对而为乘除者仍为九焉二与八对

　　二其八八其二所积皆十六截东南三四九之数合矣二分十六得八八分十六得二此二与八之互见也三与七对三其七七其三所积皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之数合矣三分二十一得七七分二十一得三此三与七之互见也四与六对四其六六其四所积皆二十四三八亦积二十四不用三八而一二五七九之数合矣四分二十四得六六分二十四得四此四与六之互见也五宜与十对而洛书无十故以中五乘四隅所积之数必止于十而无余五乘二为一十是为两方之数【四正四隅两方相对皆十】五乘四为二十是为四方之数【四正合为二十四隅亦合为二十两正两隅亦合为二十】五乘八为四十是为八方之数【四正四隅合为四十】五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五与十之互见也洛书无十而十藏于中矣足后反无余不足然后足此乘除之原也
　　九章皆勾股説
　　通曰九数曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱禀税曰少广御积幂方圆曰商功御功程积寔曰均输御逺近劳费曰盈朒御隐襍互见曰方程御错糅正负曰勾股御髙深广逺周礼保氏注也周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望髙覆矩以测深卧矩以知逺勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏于圎方少广圎方所出也方田商功皆少广所出一方一圎其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原于黄钟粟布出焉黄钟出于方圎者也三分益一圎周变为方周四分用三圎积变自方积故勾股之容圎方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见于勾股少广方田统之矣交质变易或见于差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也秦西立十八法盈朒曰叠借互征方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其畧差分仍为差分粟布商功见于三率均输见于重准测名异理同究无同异也加减乘除出于洛亦成于勾股和者勾股之相并也较者勾股之相较也并以成加较以成减勾股自之而为积则乘成积开方而为则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉
　　四算说
　　通曰古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握即少广圎以六包也后世有珠算而古法亡矣泰西之笔算筹算皆出九九尺算即比例规出三角筹尺虽不备加减其用甚便葢乘莫善于筹除莫善于笔加减莫善于珠比例莫善于尺用加为减用加减为乘除借此知彼无往而非比例也好学深思可以通而几矣
　　九九图説
　　此九九全图即相乘
　　相除图也【相乗者一一得一一
　　二得二之类相除者九除八十一得九八
　　除六十四得八之类】

　　此自乘图也【一一得一
　　二二得四三三得九之类】
　　此各并图也
　　【三与六并九四与八并十
　　二之类】

　　此隔一位并图也【四与十二并十六五与十五并二十之类】隔二位并【五与二十并二十五六与二十四并三十之类其隔中又
　　并者五之左十二十之右十五亦并二十五也余仿此】隔三位并隔四位并　隔五位并
　　隔六位并【无不合隔中挨次而并亦无不合】

　　此相减生阳图也【四去
　　一而生三六十四去一而生六十三九去
　　四而生五四十九去四而生四十五之类
　　右而左者自少而多即据见数减之左而
　　右者自多而少当除十而减其余也除皆
　　阴数始除八十次除六十次除四十次除
　　二十】

　　此相减生隂图也【六去
　　二而生四五十六去二而生五十四十二
　　去六而生六四十二去六而生三十六之
　　类自左而右者亦除十余皆阳数始除七
　　十次除五十次除三十】

　　【并首尾之一九为十并一与十六为十七并一与二十五为二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五为实以七十二折半得一百得六百五十折半得三为法除之得十五三十六为实以四为三百二十五为实以
　　故纵横皆十五也　法除之得纵横皆三五为法除之得纵横此用少广章顺加求十四　　　　　　皆六十五积法得实】

　　【并一与三十六为三十七以三十六乘之得一千三百三】
　　【十二折半得六百六十六为并一与四十九为五十以四十九实以六为法除之得纵横皆乘之得二千四百五十折半得一
　　一百一十一　　　　　　千二百二十五为实以七为法除之得纵横皆一百七十五
　　并一与六十四为六十五以六十四乘之得四
　　千一百六十折半得二千零八十为实以八为
　　法除之得纵横】

　　【皆二百六十并一与八十一为八十二以八十
　　一乘之得六千六百四十二折半得三千三百
　　二十一为实以九为法除】

　　【并一与一百为一百零一以一百乘之得
　　一万零一百折半得五千零五十为实以
　　十为法除之得纵横】

<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷首上>
　　【六十四子顺逆安置用横行八位为一阵首行数居北之右八行数居北之左二行数居南之左七行数居南之右三行数居东之上五行数居东之下四行数居西之下六行数居西之上其求积法如前八八图每阵得二百六十每阵各取半面四子积一百三十合而俱成一阵数无不同如截坎东四子艮西四子共得二百六十截干南四子兑北四子亦得二百六十
　　用七十二子为图并一与七十二得七十三以七十二乘
　　之得五千二百五十六折半得二千六百二十八为实以
　　九为法除之得每环八子为一阵各二百九十二以九阵
　　化为十三阵也】

　　通曰商髙曰圎出于方方出于矩矩出于九九八十一赵君卿曰九九者乘除之原也乘之九九见乎外除之九九藏乎内故为乘之原即为除之原也夫九九者生生之谓也人知夫数始于一而不知数始于九人知夫数终于十而不知数终于九葢九与九遇始以继终终以继始旋相为用而无始无终此所谓生生也一三五七为阳而九统之二四六八为隂而九统之阳故不统阳而统隂阳者也如右诸图靡不适合然犹一定位次至错综变化无方无体而中天然之节藏往知来宁独九九而已哉
　　倚数图说

　　通曰易曰参天两地而倚数无倚不生则无数也有中倚焉有偏倚焉数始于一二何自来乎一之自并也三何自来乎一与二并也四何自来乎二之自并也一与三并也推至京垓亦无不然两相倚而生者中也以此倚彼而生者偏也不特生为然也即用亦有倚焉积小知大则用中倚由博反约则用偏倚中可互用偏惟専成裒多益寡则偏中皆用葢用之无节虽中亦偏用之当位虽偏亦中存乎其人耳数故可倚而不可倚不可倚而后可倚者若夫相追而合有偶合不可为率者有巧合可为准者相距而合有不合而适合者有似合而非合者故参两之倚可以神遇不可尽以言传苟非黙悟防通未免倚彼失此倚此失彼逐物者中无所主

　　自恃者有所不见此不可以入数即不可以入理也
　　今之五量用数图说
　　十百　万千百十○分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠【或作微尘渺漠埃纎
　　沙或作防佥或作纎尘沙渺漠茫】
　　权衡　　　十斤两钱分【凡分以下俱同前】
　　十两钱分
　　升斛　　　十石斗升合勺抄撮圭粟粒颗【或作粒黍防糠粃或作颗粒】尺丈　　　十丈尺寸分
　　里步　　　十里百十步分【三百六十步为里】
　　十畆分【或用万千百十顷十畆分　百畆为顷】
　　十弓分【二百四十弓为畆　弓与同】
　　通曰家语黄帝设五量曰权衡曰升斛曰尺丈曰里步曰十百不以升斛独为量也度量衡同律皆以黍生里歩不通量衡十百可通五量故今之五量用有非一则者数有相通者十之上分之下皆同十百之名惟升斛无分名耳皆遇十则升而权衡里步稍有不同斤法十六里法三百六十故也权衡之用有二或用斤或止用两里步之用有三或用里或用畆或用弓十百之用无穷矣度之通于量也二尺五寸为斛法衡之通于量也百二十斤为石法曰亿曰兆曰京曰垓曰秭曰穰曰沟曰涧曰王曰载此十等数也而其用分上中下数下数者十十变之十万曰亿十亿曰兆十兆曰京至载皆以十进中数者万万变之万万曰亿万亿曰兆万兆曰京之类也上数者数穷则变万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京之类也虽然数不可以名拘河洛有数无名圣人因其数而名之曰一曰二亦物谓之而然也

　　数度衍巻首上
　　钦定四库全书
　　数度衍卷首下
　　桐城　方中通　　撰
　　律衍
　　隔八相生图说
　　通曰黄钟太蔟姑洗防賔夷则无射六律为阳林钟南吕应钟大吕夹钟中吕六吕为隂隔八相生者黄钟生林钟隔子至未八位也娶妻生子者黄钟一阳复娶一隂姤生二隂遯为林钟也先王父周易时论曰宫与商商与角征与羽相去各一角与征羽与宫相去各二故比征少下曰变征少髙于宫曰变宫
　　通曰六律居子寅辰午申戌不
　　动六吕皆取冲位未居丑为十
　　二月酉居夘为二月之类是也
　　凡阳生隂谓之下生用三分损
　　一求之凡隂生阳谓之上生用
　　三分益一求之葢相生则以子
　　午分隂阳不以律吕分隂阳也
　　详后
　　诸家推算
　　黄钟九寸　积八十一分【长九寸围九分相乘得八十一分】
　　子一分【分去声以九寸为一段也】
　　三分前律寸数为法下生者倍其法上生者四其法实一十七万七千一百四十七数【通曰以八十一分自之得六千五百六十一又以三乘九寸得二十七为法乘之即得子实　三厯十二辰亦合】
　　管子遇损用益遇益用损法
　　郑杜佑先倍先四前律寸数法【通曰先倍而后三分之与先三分之而后倍同先四之而后三分之与先三分之而后四之同葢先乘后除与先除后乘数无二也】
　　十度八寸一分【以积八十一分即作八寸一分也】
　　新法五寸三分一厘四毫四丝一忽【通曰以九化积八十一分为七百二十九厘又九化为六千五百六十一毫又九化为五万九千零四十九丝又九化为五十三万一千四百四十一忽以十度即作五寸三分一厘四毫四丝一忽也】
　　林钟六寸　积五十四分【以黄钟九寸而三分之　段得三寸于黄钟寸内损　段得六寸也　以黄钟积八十一分而三分之毎段得二十七分于林钟积内损一段得五十四分也以九分为　寸归整得六寸也】
　　丑三分二【三其子之一为三分两其子之一为二也前图林钟在未今取冲位居丑也六吕皆然　通曰三其二为六寸也】
　　下生用倍【三分黄钟九寸得三寸为法倍其法得六寸也】
　　实一十一万八千零九十八数【分子实为三段毎段得五万九千零四十九丑得二段为实　通曰得二段即损一段也】
　　管法【于黄钟积八十一分外益一段二十七分共得一百零八分而半之得五十四分亦合】郑法【先倍黄钟九寸为十八寸而三分之毎段得六寸即是】
　　十度五寸四分【以黄钟八寸一分而三分之每段得二寸七分于黄钟寸内损一段得五寸四分也】
　　新法三寸五分四厘二毫九丝四忽【通曰以九化积五十四分为四百八十六厘又九化为四千三百七十四毫又九化为三万九千三百六十六丝又九化为三十五万四千二百九十四忽以十度即作三寸五分四厘二毫九丝四忽也】
　　三分损一亦合【通曰以子五寸三分一厘四毫四丝一忽而三分之毎段得一寸七分七厘一毫四丝七忽丑当损一段正合三寸五分四厘二毫九丝四忽也】
　　太蔟八寸　积七十二分【以林钟六寸而三分之每段得二寸于林钟寸外益一段得八寸也　以林钟积五十四分而三分之毎段得十八分于林钟积外益一段得七十二分也以九分为一寸归整得八寸也】
　　寅九分八【三其丑之三为九四其丑之二为八也　通曰八与八寸相合】
　　上生用四【三分林钟六寸得二寸为法四其法得八寸也】
　　实一十五万七千四百六十四数【三分丑实毎段得三万九千三百六十六寅当益一段为实　通曰分子实为九段毎段得一万九千六百八十三寅得八段为实】
　　管法【以林钟一百零八分而三分之毎段得三十六于林钟数内损一段得七十二分亦合】郑法【先以四乘林钟六寸为二十四寸而三分之毎段得八寸即是】
　　十度七寸二分【以林钟五寸四分而三分之每段得一寸八分于林钟寸外益一段得七寸二分也】
　　新法四寸七分二厘三毫九丝二忽【通曰以九化积七十二分为六百四十八厘又九化为五千八百三十二毫又九化为五万二千四百八十八丝又九化为四十七万二千三百九十二忽以十度即作四寸七分二厘三毫九丝二忽】
　　三分益一亦合【通曰以丑三寸五分四厘二毫九丝四忽而三分之毎段得一寸一分八厘零九丝八忽寅当益一段正合四寸七分二厘三毫九丝二忽也】
　　南吕五寸三分　积四十八分【太蔟八寸不可三分乃以九乘八寸化为七十二分然后三分之每段得二十四分于太蔟积内损一段得四十八分也以九分为一寸归整得五寸零三分也】
　　夘二十七分十六【取冲位　三其寅之九为二十七两其寅之八为十六也　通曰三其十六为四十八分也】
　　下生用倍【三分太蔟积七十二分得二十四分以九分为一寸归整得二寸六分为法倍其法得四寸一十二分而归整得五寸三分也】
　　实一十万零四千九百七十六数【三分寅实每段得五万二千四百八十八夘当损一段为实　通曰分子实为二十七段每段得二千五百六十一夘得十六段为实】
　　管法【于太蔟积七十二分外益一段二十四分共得九十六分而半之得四十八分亦合】郑法【先倍太蔟八寸为十六寸此数不可三分乃以十六寸九化为一百四十四分而三分之每段得四十八分即是】
　　十度四寸八分【以太蔟七寸二分而三分之每段得二寸四分于太蔟寸内损一段得四寸八分也】新法三寸一分四厘九毫二丝八忽【通曰以九化积四十八分为四百三十二厘又九化为三千八百八十八毫又九化为三万四千九百九十二丝又九化为三十一万四千九百二十八忽以十度即作三寸一分四厘九毫二丝八忽也】
　　三分损一亦合【通曰以寅四寸七分二厘三毫九丝二忽而三分之每段得一寸五分七厘四毫六丝四忽夘当损一段正合三寸一分四厘九毫二丝八忽也】
　　姑洗七寸一分　积六十四分【以南吕积四十八分而三分之毎段得十六分
　　于南吕外益一段得六十四分也以九分为一寸归整得七寸零一分也】
　　辰八十一分六十四【三其夘之二十七为八十一四其夘之十六为六十四也　通曰六十四与六十四分相合】
　　上生用四【三分南吕积四十八分得十六分以九分为一寸归整得一寸七分为法四其法得四寸二十八分而归整得七寸一分也】
　　实一十三万九千九百六十八数【三分夘实每段得三万四千九百九十二辰当益一段为实　通曰分子实为八十一段每段得二千一百八十七辰得六十四段为实】
　　管法【以南吕九十六分而三分之每段得三十二分于南吕数内损一段得六十四分亦合】郑法【先以四乘南吕积四十八分为一百九十二分而三分之每段得六十四分即是】十度六寸四分【以南吕四寸八分而三分之每段得一寸六分于南吕寸外益一段得六寸四分也】新法四寸一分九厘九毫零四忽【通曰以九化积六十四分为五百七十六厘又九化为五千一百八十四毫又九化为四万六千六百五十六丝又九化为四十一万九千九百零四忽以十度即作四寸一分九厘九毫零四忽也】
　　三分益一亦合【通曰以夘三寸一分四厘九毫二丝八忽而三分之毎段得一寸零四厘九毫七丝六忽辰当益一段正合四寸一分九厘九毫零四忽也】
　　应钟四寸六分六厘　积三百八十四厘【姑洗六十四分又不可三分乃以九化之为五百七十六厘然后三分之毎段得一百九十二厘于姑洗化厘内损一段得三百八十四厘也以九厘为一分归整得四十二分零六厘又以九分为一寸归整得四寸零六分六厘也】
　　巳二百四十三分一百二十八【取冲位　三其辰之八十一为二百四十三两其辰之六十四为一百二十八也　通曰三其一百二十八为三百八十四厘也】
　　下生用倍【三分姑洗化积五百七十六厘得一百九十二厘归整得二寸三分三厘为法倍其法得四寸六分六厘也】
　　实九万三千三百一十二数【三分辰实毎段得四万六千六百五十六巳当损一段为实　通曰分子实为二百四十三段每段得七百二十九巳得一百二十八段为实】
　　管法【于姑洗化积五百七十六厘外益一段一百九十二厘共得七百六十八厘而半之得三百八十四厘亦合】
　　郑法【先倍姑洗化积五百七十六厘为一千一百五十二而三分之毎段得三百八十四厘即是】十度四寸二分六厘【以姑洗六寸四分存一厘不入算止作六寸三分九厘而三分之每段得二寸一分三厘于六寸三分九厘内损一段得四寸二分六厘也】
　　新法二寸七分九厘九毫三丝六忽【通曰以九化积三百八十四厘为三千四百五十六毫又九化为三万一千一百零四丝又九化为二十七万九千九百三十六忽以十度即作二寸七分九厘九毫三丝六忽也】
　　三分损一亦合【通曰以辰四寸一分九厘九毫零四忽而三分之每段得一寸三分九厘九毫六丝八忽巳当损一段正合二寸七分九厘九毫三丝六忽也】
　　防賔六寸二分八厘　积五百一十二厘【以应钟积三百八十四厘而三分之每段得一百二十八厘于应钟积外益一段得五百一十二厘也以九厘为一分归整得五十六分零八厘又以九分为一寸归整得六寸零二分八厘也】
　　午七百二十九分五百一十二【三其巳之二百四十三为七百二十九四其巳之一百二十八为五百一十二也通曰五百一十二与五百一十二厘相合】
　　上生用四【三分应钟积三百八十四厘得一百二十八厘归整得一寸五分二厘为法四其法得四寸二十分八厘而归整得六寸二分八厘也】
　　实一十二万四千四百一十六数【三分巳实毎段得三万一千一百零四午当益一段为实　通曰分子实为七百二十九毎段得二百四十三午得五百一十二段为实】
　　管法【以应钟七百六十八厘而三分之毎段得二百五十六厘于应钟数内损一段得五百一十二厘亦合】
　　郑法【先以四乘应钟即三百八十四厘为一千五百三十六厘而三分之每段得五百一十二厘即是】十度五寸六分八厘【以应钟四寸二分六厘而三分之每段得一寸四分二厘于应钟寸外益一段得五寸六分八厘也】
　　新法三寸七分三厘二毫四丝八忽【通曰以九化积五百一十二厘为四千六百零八毫又九化为四万一千四百七十二丝又九化为三十七万三千二百四十八忽以十度即作三寸七分三厘二毫四丝八忽也】
　　三分益一亦合【通曰以巳二寸七分九厘九毫三丝六忽而三分之毎段得九分三厘三毫一丝二忽午当益一段正合三寸七分三厘二毫四丝八忽也】
　　大吕八寸三分七厘六毫　积六千一百四十四毫【防賔五百一十二厘又不可三分乃以九化之为四千六百零八毫然后三分之毎段得一千五百三十六毫于防賔化毫外益一段得六千一百四十四毫也以九毫为一厘归整得六百八十二厘零六毫又以九厘为一分归整得七十五分零七厘六毫又以九分为一寸归整得八寸零三分七厘六毫也】
　　未二千一百八十七分一千二十四【取冲位　三其午之七百二十九为二千一百八十七两其午之五百一十二为一千零二十四也　通曰六其一千零二十四为六千一百四十四毫也】
　　上生用四【三分防賔化积四千六百零八毫得一千五百三十六毫归整得二寸八厘六毫为法四其法得八寸三十二厘二十四毫而归整得八寸三分七厘六毫也】
　　实一十六万五千八百八十八数【三分午实毎段得四万一千四百七十二未损一段得八万二千九百四十四又倍之为实　通曰未当益一正合实数今顺次益后用损倍之亦合也分子实为二千一百八十七段毎段得八十一未得一千零二十四段为实八万二千九百四十四又倍之合实此因防賔又上生大吕重一益数故须又倍也后遇上生皆倍】
　　管法【于防賔化积四千六百零八毫内损一段一千五百三十六毫得三千零七十二毫而倍之得六千一百四十四毫亦合】
　　郑法【先以四乘防賔化积四千六百零八毫为一万八千四百三十二毫而三分之每段得六千一百四十四毫即是】
　　十度七寸五分六厘【以防賔五寸六分八厘又存一厘不入算止作五寸六分七厘而三分之每段得一寸八分九厘于五寸六分七厘外益一段得七寸五分六厘也】
　　新法四寸九分七厘六毫六丝四忽【通曰以九化积六千一百四十四毫为五万五千二百九十六丝又九化为四十九万七千六百六十四忽以十度即作四寸九分七厘六毫六丝六忽也】
　　三分益一亦合【通曰以午三寸七分三厘二毫四丝八忽而三分之每段得一寸二分四厘四毫一丝六忽未又当益一段正合四寸九分七厘六毫六丝四忽也】
　　夷则五寸五分五厘一毫　积四千零九十六毫【以大吕积六千一百四十四毫而三分之每段得二千零四十八毫于大吕积内损一段得四千零九十六毫也以九毫为一厘归整得四百五十五厘零一毫又以九厘为一分归整得五十分零五厘一毫又以九分为一寸归整得五寸零五分五厘一毫也】
　　申六千五百六十一分四千九十六【三其未之二千一百八十七为六千五百六十一四其未之一千零二十四为四千零九十六也　通曰四千零九十六与四千零九十六毫相合】
　　下生倍用【三分六吕积六千一百四十四毫得二千零四十八毫归整得二寸七分二厘五毫为法倍其法得四寸一十四分四厘一十毫而归整得五寸五分五厘一毫也】
　　实一十一万零五百九十二数【三分未之八万二千九百四十四毎段得二万七千六百四十八申于八万二千九百四十四外益一段为实　通曰分子实为六千五百六十一段每段得二十七申得四千零九十六段为实】
　　管法【以大吕三千零七十二毫而三分之每段得一千零二十四毫于大吕数外益一段得四千零九十六毫亦合】
　　郑法【先倍大吕积六千一百四十四毫为一万二千二百八十八毫而三分之毎段得四千零九十六毫即是】
　　十度五寸零四厘【以大吕七寸五分六厘而三分之每段得二寸五分二厘于大吕寸内损一段得五寸零四厘也】
　　新法三寸三分一厘七毫七丝六忽【通曰以九化积四千零九十六毫为三万六千八百六十四丝又九化为三十三万一千七百七十六忽以十度即作三寸三分一厘七毫七丝六忽也】
　　三分损一亦合【通曰以未四寸九分七厘六毫六丝四忽而三分之每段得一寸六分五厘八毫八丝八忽申当损一段正合三寸三分一厘七毫七丝六忽也】
　　夹钟七寸四分三厘七毫三丝积四万九千一百五十二丝【夷则四千零九十六毫又不可三分乃以九化之为三万六千八百六十四丝然后三分之每段得一万二千二百八十八丝于夷则化丝外益一段得四万九千一百五十二丝也以九丝为一毫归整得五千四百六十一毫三丝又以九毫为一厘归整得六百零六厘零七毫三丝又以九厘为一分归整得六十七分零三厘七毫三丝又以九分为一寸归整得七寸零四分三厘七毫三丝也】
　　酉一万九千六百八十三分八千一百九十二【取冲位三其申之　六千五百六十一为一万九千六百八十三两其申之四千零九十六为八千一百九十二也　通曰六其八千一百九十二为四万九千一百五十二丝也】
　　上生用四【三分夷则化积三万六千八百六十四丝得一万二千二百八十八丝归整一寸七分七厘六毫三丝为法四其法得四寸二十八分二十八厘二十四毫一十二丝而归整得七寸四分三厘七毫三丝也】
　　实一十四万七千四百五十六数【三分申实每段得三万六千八百六十四酉损一段得七万三千七百二十八又倍之为实　通曰分子实为一万九千六百八十三段每段得九酉得八千一百九十二段为实七万三千七百二十八又倍之合实】
　　管法【于夷则化积三万六千八百六十四丝内损一段一万二千二百八十八丝得二万四千五百七十六丝而倍之得四万九千一百五十二丝亦合】
　　郑法【先以四乘夷则化积三万六千八百六十四丝为一十四万七千四百五十六丝而三分之每段得四万九千一百五十二丝即是】
　　十度六寸七分二厘【以夷则五寸零四厘而三分之每段得一寸六分八厘于夷则寸外益一段得六寸七分二厘也】
　　新法四寸四分二厘三毫六丝八忽【通曰以九化积四万九千一百五十二丝为四十四万二千三百六十八忽以十度即作四寸四分二厘三毫六丝八忽也】三分益一亦合【通曰以申三寸三分一厘七毫七丝六怱而三分之每段得一寸一分零五毫九丝二忽酉当益一段正合四寸四分二厘三毫六丝八忽也】
　　无射四寸八分八厘四毫八丝　积三万二千七百六十八丝【以夹钟积四万九千一百五十二丝而三分之每段得一万六千三百八十四丝于夹钟积内损一丝得三万二千七百六十八段也以九丝为一毫归整得三千六百四十毫零八丝又以九毫为一厘归整得四百零四厘零四毫八丝又以九厘为一分归整得四十四分零八厘四毫八丝又以九分为一寸归整得四寸零八分八厘四毫八丝也】
　　戍五万九千四十九分三万二千七百六十八【三其酉之一万九千六百八十三为五万九千零四十九四其酉之八千一百九十二为三万二千七百六十八也　通曰三万二千七百六十八与三万二千七百六十八丝相合】
　　下生用倍【三分夹钟积四万九千一百五十二丝得一万六千三百八十四丝归整得二寸四分四厘二毫四丝为法倍其法得四寸八分八厘四毫八丝也】
　　实九万八千三百零四数【三分酉之七万三千七百二十八毎段得二万四千五百七十六戌于七万三千七百二十八外益一段为实　通曰分子实为五万九千零四十九段毎段得三戌得三万二千七百六十八段为实】
　　管法【以夹钟二万四千五百七十六丝而三分之每段得八千一百九十二丝于夹钟数外益一段得三万二千七百六十八丝亦合】
　　郑法【先倍夹钟积四万九千一百五十二丝为九万八千三百零四丝而三分之毎段得三万二千七百六十八丝即是】
　　十度四寸四分八厘【以夹钟六寸七分二厘而三分之每段得二寸二分四厘于夹钟寸内损一段得四寸四分八厘也】
　　新法二寸九分四厘九毫一丝二忽【通曰以九化积三万二千七百六十八丝为二十九万四千九百一十二忽以十度即作二寸九分四厘九毫一丝二忽也】三分损一亦合【通曰以酉四寸四分二厘三毫六丝八忽而三分之每段得一寸四分七厘四毫五丝六忽戌当损一段正合二寸九分四厘九毫一丝二忽也】
　　中吕六寸五分八厘三毫四丝六忽积三十九万三千二百一十六忽【无射三万二千七百六十八丝又不可三分乃以九化之为二十九万四千九百一十二忽然后三分之每段得九万八千三百零四忽于无射化忽外益一段得三十九万三千二百一十六忽也以九忽为一丝归整得四万三千六百九十丝零六忽又以九丝为一毫归整得四千八百五十四毫零四丝六忽又以九毫为一厘归整得五百三十九厘零三毫四丝六怱又以九厘为一毫归整得五十九分零八厘三毫四丝六忽又以九分为一寸归整得六寸零五分八厘三毫四丝六忽也】
　　亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六【取冲位三其戌之五万九千零四十九为一十七万七千一百四十七此即黄钟之实也两其戌之三万二千七百六十八为六万五千五百三十六也　通曰六其六万五千五百三十六为三十九万三千二百一十六忽也】
　　上生用四【三分无射化积二十九万四千九百一十二忽得九万八千三百零四怱归整得一寸五分八厘七毫五丝六怱为法四其法得四寸二十分三十二厘二十八毫二十丝二十四忽而归整得六寸五分八厘三毫四丝六怱也】
　　实一十三万一千零七十二数【三分戌实每段得三万二千七百六十八亥损一段得六万五千五百三十六又倍之为实通曰分子实一十七万七千一百四十七段每段得一亥得六万五千五百三十六段又倍为实】
　　管法【于无射化积二十九万四千九百一十二忽内损一段九万八千三百零四忽得一十九万六千六百零八忽而倍之得三十九万三千二百一十六忽亦合】
　　郑法【先以四乘无射化积二十九万四千九百一十二忽为一百一十七万九千六百四十八忽而三分之每段得三十九万三千二百一十六忽即是】
　　十度五寸九分六厘【以无射四寸四分八厘又存一厘不入算止作四寸四分七厘而三分之每段得一寸四分九厘于四寸四分七厘外益一段得五寸九分六厘也】
　　新法三寸九分三厘二毫一丝六忽【通曰以积三十九万三千二百一十六忽十度即作三寸九分三厘二毫一丝六忽也】
　　三分益一亦合【通曰以戌二寸九分四厘九毫一丝二忽而三分之毎段得九分八厘三毫零四忽亥当益一段正合三寸九分三厘二毫一丝六忽也】
　　通曰黄钟为宫生林钟为征林钟生太蔟为商三者皆寸数故曰三统京房所衍用宫征商者此也太蔟生南吕为羽南宫生姑洗为角二者皆分数故曰五音姑洗生应钟为变宫应钟生防賔为变征二者皆厘数故曰七调也独寸得三律自寸化分以下则皆厯二而变故防賔生大吕大吕生夷则二者皆毫数夷则生夹钟夹钟生无射二者皆丝数无射生中吕则忽数也黄钟以三为法以九为度用竒成数故遇三遇五遇七遇九遇十一皆变也损益乘除三率法耳诸家推算数皆符合惟十度存三厘未当通今列诸家于前以忽数准寸而用十度立新法于后使长短易较用十度以合九度岂以十度废九度哉更明比例多寡则三分损益皆可置之也
　　比例图

　　约李瞿经纬説【李文利瞿九思】
　　三十九分者黄钟之律阳之始也由是四十八分为大吕又五十七分为太蔟又六十六分为夹钟又七十五分为姑洗又八十四分为中吕九十分者防賔之律阳之极也由是八十一分为林钟七十二分为夷则六十三分为南吕五十四分为无射四十五分为应钟子午者隂阳之府也黄钟生阳防賔消阳二律纵为经十律横为纬太曰东西为纬南北为经经以隂阳之升降言也子午得天地之中左右律之升降皆不能过也但

　　律吕之数纪阳不纪隂故于防賔以下六律不言隂之生但纪其阳之降耳黄钟长三寸九分以九六升阳至防賔而极其长防賔长九寸以九六归阳至黄钟而极其短二律特其两端左右莫不受法于二律则经纬见矣十律为纬亦有二义自其相对者言之丑与亥对寅与戌对夘与酉对辰与申对巳与未对葢左五律纪阳之升左皆为阳左比右各多三分者阳道常饶也右五律纪阳之降右皆为隂右比左各少三分者隂道常乏也左右相对虽差三分而皆以同类为偶如丑亥皆四寸有竒寅申皆五寸有竒夘酉皆六寸有竒辰申皆七寸有竒巳未皆八寸有竒是也左律分寸之数皆十二如丑律四八之类皆本于黄钟之三九也右律分寸之数皆九如未律八一之类皆本于防賔之九也非纬而何此是言其对待者自其相冲者言之寸数俱一百二十分数俱九共成一百二十九分丑未二律一百二十九分寅申二律一百二十九分夘酉二律一百二十九分辰戌二律一百二十九分巳亥二律一百二十九分者即黄钟防賔之律黄钟卅九防賔九十合之共一百二十九可见二律为经之义此是言其错综者皆自然而然不待安排夫子午为经左右为纬是以隂阳之消长而言一定之理也若夫旋宫之制按月用律则十二律皆可为经如以黄钟为宫则隔八相生以林钟为征太蔟为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫防賔为变征则为经征商羽角皆左右往来以为之纬也律为经莫不皆然是又流行之用而不可以执一论也【十二律虽分经纬要之一黄钟足以该之黄钟三寸以三因之十二律无非三也黄钟九分以九因之十二律无非九也丑四十八分五九而余其三也三之则为十六矣寅五十七分六九而余其三也三之则为十九矣夘六十六分七九而余其三也三之则为二十二矣辰七十五分八九而余其三也三之则为二十五矣巳八十四分九九而余其三也三之则为二十八矣自丑至巳以三约之皆无余分以九约之毎多三分者左益三分也未八十一分九其三也三之则为二十七矣申七十二分九其八也三之则为二十四矣酉六十三分九其七也三之则为二十一矣戌五十四分九其六也三之则为十八矣亥四十五分九其五也三之则为十五矣自未至亥以三约之亦无余分以九约之比左少三分右损三分也此黄钟之三九所以为十一律之本也】
　　通曰凡物凡理莫不具有经纬二端黄钟防賔为经十律为纬而黄钟更自有经纬也长度为经围度非纬乎可知十二律互相为经纬又各自为经纬也经亦可以为纬纬亦可以为经也然而无别不立无交不成经非纬纬非经此别也非经无纬非纬无经此交也
　　旋相为宫图
　　通曰礼运曰五声六律十二管还相为宫者五其十二而成六十黄钟始之南宫终之也然始终亦不得已而究无始终而无非始无非终也
　　一　黄钟【宫】　林钟【征】　太蔟【商】　南吕【羽】　姑洗【角】二　林钟【宫】　太蔟【征】　南吕【商】　姑洗【羽】　应钟【角】三　太蔟【宫】　南吕【征】　姑洗【商】　应钟【羽】　防宾【角】四　南吕【宫】　姑洗【征】　应钟【商】　防宾【羽】　大吕【角】五　　姑洗【宫】　应钟【征】　防宾【商】　大吕【羽】　夷则【角】六　　应钟【宫】　防宾【征】　大吕【商】　夷则【羽】　夹钟【角】七　　防宾【宫】　大吕【征】　夷则【商】　夹钟【羽】　无射【角】八　　大吕【宫】　夷则【征】　夹钟【商】　无射【羽】　中吕【角】九　　夷则【宫】　夹钟【徴】　无射【商】　中吕【羽】　黄钟【角】十　　夹钟【宫】　无射【征】　中吕【商】　黄钟【羽】　林钟【角】十一　无射【宫】　中吕【征】　黄钟【商】　林钟【羽】　太蔟【角】十二　中吕【宫】　黄钟【征】　林钟【商】　太蔟【羽】　南吕【角】
　　京房六十律
　　通曰京房五音用三者取宫征商皆寸数为三统故也黄钟太蔟姑洗皆阳居阳林钟南吕皆隂居隂五者皆得位也得位者生五子共生二十五子大吕夹钟仲吕皆隂居阳夷则无射皆阳居隂五者皆失位也失位者生三子共生十五子应钟防賔处隂阳交际之间不得不失皆生四子共生八子以四十八子并十二母为六十律也列于后
　　【得位】黄钟【宫子】林钟【征】太蔟【商】一日律九寸
　　【一子】色育　谦待　未知　六日律八寸九分微强【二子】执始　去灭　时息　六日律八寸八分小分八弱【三子】丙盛　安度　屈齐　六日律八寸七分小分六微弱【四子】分勲　归嘉　随期　六日律八寸六分小分四强【五子】质未　否与　刑晋　六日律八寸五分小分二强

　　【失位】大吕【宫丑】夷则【征】夹钟【商】八日律八寸四分小分三弱【一子】分否　解刑　开时　八日律八寸三分小分一强【二子】陵隂　去南　侯嘉　八日律八寸二分一少弱【三子】少出　分积　争南　六日律八寸小分九强【得位】太蔟【宫寅】南吕【征】姑洗【商】一日律八寸
　　【一子】未知　白吕　南授　六日律七寸九分小分八强【二子】时息　结躳　变虞　二日律七寸八分小分九强【三子】屈齐　归期　路时　七日律七寸七分小分九强【四子】随期　未夘　刑始　六日律七寸六分小分八强【五子】刑晋　夷汗　依行　六日律七寸五分小分八弱

　　【失位】夹钟【宫夘】无射【征】中吕【商】六日律七寸四分小分九强【一子】开时　闭掩　南中　七日律七寸三分小分九微弱【二子】侯嘉　邻齐　内负　七日律七寸一分小分九微强【三子】争南　期保　总应　七日律七寸一分小分九强

　　【得位】姑洗【宫辰】应钟【征】防賔【商】一日律七寸一分小分九微强【一子】南授【一子】分乌【一子】南事　六日律七寸小分九大强【二子】变虞【二子】迟内【二子】盛变　六日律七寸小分一强【三子】路时【三子】未育【三子】离躳　六日律六寸九分小分一微强【四子】刑始【四子】迟时【四子】制时　五日律六寸八分小分三弱【五子】依行　色育　谦待　七日律六寸七分小分三大强通曰色育不宜入应钟子行谦待不宜入防賔子行
　　【失位】中宫【宫巳】执始【防】去灭【商】八日律六寸六分小分大弱【一子】南中　丙盛　安度　七日律六寸五分小分七微弱【二子】内负　分勲　归嘉　八日律六寸四分小分八强【三子】总应　质未　否与　七日律六寸三分小分九强

　　【不得不失】防賔【宫午】大吕【征】夷则【商】一日律六寸三分小分二微弱【一子】南事【上生穷无征商不为宫】　　七日律六寸三分小分一弱【二子】盛变　分否　解刑　七日律六寸二分小分三大强【三子】离躳　陵隂　去南　七日律六寸一分小分五微强【四子】制时　少出　分积　八日律六寸小分七弱

　　【得位】林钟【宫未】太蔟【征】南吕【商】一日律六寸
　　【一子】谦待　未知　白吕　五日律五寸九分小分九弱【二子】去灭　时息　结躳　七日律五寸九分小分二弱【三子】安度　屈齐　归期　六日律五寸八分小分四弱【四子】归嘉　随期　未夘　六日律五寸七分小分六微强【五子】否与　刑晋　夷汗　五日律五寸六分小分八强【失位】夷则【宫申】夹钟【征】无射【商】八日律五寸六分小分二弱【一子】解刑　开时　闭掩　八日律五寸五分小分四强【二子】去南　侯嘉　邻齐　八日律五寸四分小分六大强【三子】分积　争南　期保　七日律五寸三分小分九强

　　【得位】南吕【宫酉】姑洗【征】应钟【商】一日律五寸三分小分三强【一子】白吕　南授　分乌　五日律五寸三分小分二强【二子】结躳　变虞　迟内　七日律五寸二分小分六强【三子】归期　路时　未育　六日律五寸一分小分九微强【四子】未夘　刑始　迟时　六日律五寸一分小分二微强【五子】夷汗　依行　色育　五日律五寸小分五强通曰色育入应钟子行凡二见谦待入防賔子行凡一见葢中吕无射皆失位生子三并母为四截去黄钟林钟各首子余四子始可配位此亦不得不然也
　　【失位】无射【宫戌】中吕【征】执始【商】八日律四寸九分小分九强【一子】闭掩　南中　丙盛　八日律四寸九分小分三弱【二子】邻齐　内负　分勲　七日律四寸八分小分六微弱【三子】期保　总应　质未　八日律四寸七分小分九微强【不得不失】应钟【宫亥】防賔【征】大吕商一日律四寸九分小分四微强【一子】分乌　南事【此无商则不为宫】七日律四寸七分小分三微强【二子】迟内　盛变　分否　八日律四寸六分小分八弱【三子】未育　离躳　陵隂　八日律四寸六分小分一微强【四子】迟时　制时　少出　六日律四寸五分小分五弱

　　六十律生次自黄钟至中吕十二母照常其四十八子自中吕
　　【上生】执始【黄次　　下子　　　生】去灭【林次　　上子　　　生】时息【太次子下生】结躳【南次　　上子　　　生】变虞【姑次　　下子　　　生】迟内【应次子上生】盛变【防次　　上子　　　生】分否【大长　　下子　　　生】解刑【夷长子】

　　【上生】开时【夹长　　下子　　　生】闭掩【无长　　上子　　　生】南中【中长子】
　　【上生】丙盛【黄三　　下子　　　生】安度【林三　　上子　　　生】屈齐【太三子】
　　【下生】归期【南三　　上子　　　生】路时【姑三　　下子　　　生】未育【应三子】
　　【上生】离躳【防三　　上子　　　生】陵隂【大次　　下子　　　生】去南【夷次子】
　　【上生】侯嘉【夹次　　下子　　　生】邻齐【无次　　上子　　　生】内负【中次子】
　　【上生】分勲【黄四　　下子　　　生】归嘉【林四　　上子　　　生】随期【太四子】
　　【下生】未夘【南四　　上子　　　生】刑始【姑四　　下子　　　生】迟时【应四子】
　　【上生】制时【防四　　上子　　　生】少出【大三　　下子　　　生】分积【夷三子】
　　【上生】争南【夹三　　下子　　　生】期保【无三　　上子　　　生】总应【中三子】
　　【上生】质未【黄五　　下子　　　生】否与【林五　　上子　　　生】刑晋【太五子】
　　【下生】夷汗【南五　　上子　　　生】依行【姑五　　下子　　　生】色育【黄长子】
　　【上生】谦待【林长　　上子　　　生】未知【太长　　下子　　　生】白吕【南长子】
　　【上生】南授【姑长　　下子　　　生】分乌【应长　　上子　　　生】南事【防长子】
　　七调图
　　一宫　黄【正】　林【正】　太【正】　南【正】　姑【正半】　应【正】　防【正】二宫　林【正】　太【正半】　南【正】　姑【正半】　应【正】　防【正半】　大【正半】三宫　太【正】　南【正】　姑【正】　应【正】　防【正】　大【正半】　夷【正】四宫　南【正】　姑【正半】　应【正】　防【正半】　大【正半】　夷【正半】　夹【正半】五宫　姑【正】　应【正】　防【正】　大【正半】　夷【正半】　夹【正半】　无【正】六宫　应【正】　防【正半】　大【正半】　夷【正半】　夹【正半】　无【正半】　中【正半】七宫　防【正】　大【正半】　夷【正】　夹【正半】　无【正】　中【正半】　黄【变半】八宫　大【正】　夷【正】　夹【正】　无【正】　中【正】　黄【变半】　林【变】九宫　夷【正】　夹【正半】　无【正】　中【正半】　黄【变半】　林【变半】　太【变半】十宫　夹【正】　无【正】　中【正】　黄【变半】　林【变】　太【变半】　南【变】十一宫无【正】　中【正半】　黄【变半】　林【变半】　太【变半】　南【变半】　姑【变半】十二宫中【正】　黄【变半】　林【变】　太【变半】　南【变】　姑【变半】　应【变】
　　琴度
　　通曰四十五度三分用一为十五度十二
　　度二分益一为十八度二十四度二分益
　　一为三十六度又以三十六度三分损一
　　为二十四度十八度三分损一为十二度
　　十五度三分者九为四十五度故黄钟以
　　三为法以九为度而琴以三始九终也琴
　　分三百六十度为十四段自临岳至四徽
　　得四段自五徽至九徽得四段自十徽至
　　龙龈得四段其四徽至五徽与九徽至十
　　徽之二段不入损益而三十度又独为损益者三分十八度而益二分为三十度四分二十四度而益一分为三十度皆以六度为一分也三大段二小段不离五也且倍十五即成三十倍十二即成二十四倍十八即成三十六此亦加倍法耳后半变加为减矣大约七徽为琴之中分百八十度者二四徽为临岳七徽之中十徽为七徽龙龈之中分九十度者四而一徽又为
　　临岳四徽之中十三徽又为十徽龙龈之中也
　　箫笛七调升降图説

　　通曰合言之自极低以至极髙总为一调每孔有上中下三声耳分言之正宫为中调三升三降而成七也自正宫渐降而低为六字调再降而低为凡字调再降而低为凄凉调也自正宫渐升而髙为乙字调再升而髙为梅花调再升而髙为闭工调也闭乙凡字为南调用乙凡字为北调而南北各调中又皆有子母调是所谓二十八调也中径广者其声低中径小者其声髙成五十六调矣长者其声逺短者其声近又成百有一十二调若细剖之可至无竆然而调则不逾乎七音则不过乎五者何也南成其为南之七调北成其为北之七调髙成其为髙之七调低成其为低之七调逺成其为逺之七调近成其为近之七调非于七调外更增一调也不过于中重重剖之耳葢音止于五乃天然之节也如南调合四上尺工为五音六即髙合字五即髙四字因而防悟凡八音与夫人禽一切有声之物皆隔五必合音安得而不止于五耶乙凡者二变也北调用之为合乙四上尺工凡亦止七也黄钟之五正二变适符箫笛之七调此岂人力思量所能及哉惜乎以俗乐目之不能以今证古耳【髙字有定而无定也笛孔犹可箫之合式者始不移其不合式者必须变孔以合之】
　　横调直调说
　　通曰气交而成声声交而成调调亦不得巳之名也同此调也剖之为七曰凄凉曰凡字曰六字曰正宫曰乙字曰梅花曰闭工此以髙下分为直调也同此直调也再剖之为十三曰黄钟曰正宫曰大石曰小石曰仙吕曰中吕曰南吕曰双调曰越调曰商调曰商角曰般涉曰子母此以曲名分为横调也然声之髙下复有直有横如合与六四与五本一孔而因气之缓急分髙下者此横髙下也正宫之四即乙字之合乙字之四即梅花之合本一字而因孔之升降分髙下者此直髙下也正如琴之十三徽为横七弦为直耳至于曲名分调有阶级升降循次而转者有逺近升降隔二隔三而转者有髙字多而低字少者有低字多而髙字少者有急者有缓者此虽横调亦未尝不因髙下而分也始知声音之理无出于清浊髙下升降缓急之外者同符河洛音本天然不过随时安名字耳又何疑乎今乐非古乐哉

　　数度衍巻首下
　　钦定四库全书
　　数度衍卷一
　　桐城　方中通　撰
　　珠算
　　加法【一曰上法】
　　一上一　一下五去四　一退九进一十【进一位上一子非専指一十数也】二上二　二下五去三　二退八进一十
　　三上三　三下五去二　三退七进一十
　　四上四　四下五去一　四退六进一十
　　五上五　五退五进一十
　　六上六　六上一去五进一十　六退四进一十七上七　七上二去五进一十　七退三进一十八上八　八上三去五进一十　八退二进一十九上九　九上四去五进一十　九退一进一十式有物一十二又五十四问共若干曰六十六术一上一二上二此即一十二也大在左前小居右后故一十在左而二在右也五上五与一十同位四下五去一与二同位此加五十四在一十二之上也合为六十六矣
　　减法【一曰退法】
　　一退一　一退十还九【左位退一子本位上九】一上四退五二退二　二退十还八　二上三退五
　　三退三　三退十还七　三上二退五
　　四退四　四退十还六　四上一退五
　　五退五　五退十还五
　　六退六　六退十还四
　　七退七　七退十还三
　　八退八　八退十还二
　　九退九　九退十还一
　　式有物六十六内欲减去五十四尚余若干曰一十二术置六十六于盘中五退五在六十位上四上一退五在六位上六十退去五十存一十六退去四存二所余为一十二矣
　　因乘法
　　一一如一
　　一二如二　二二如四
　　一三如三　二三如六　三三如九
　　一四如四　二四如八　三四一十二　四四一十六一五如五　二五一十　三五一十五　四五二十五五二十五
　　一六如六　二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六三十　六六三十六
　　一七如七　二七一十四　三七二十一　四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九
　　一八如八　二八一十六　三八二十四　四八三十二　五八四十　六八四十八　七八五十六　八八六十四
　　一九如九　二九一十八　三九二十七　四九三十六　五九四十五　六九五十四　七九六十三八九七十二　九九八十一
　　术曰一位曰因二位曰乘有法有实以法乘实为所求数也然法实亦可互用故曰相乘一位法者相因得数而己法二位以至多位者自左向右用第二位法起诸位法毕然后乘法首位也以法乘实先乘实右末位向左逐位遍乘乘毕而实数即变为所求数矣有防尾乘破头乘皆不适用故不录
　　因式有三百六十五人毎人八两问共若干曰二千九百二十两术以三百六十五人为实列盘左以八两为法列盘右先以八乘实末寅位五曰五八得四十变寅位五为四次以八乘丑实六曰六八四十八变丑位六为四加八于寅位四上曰八退二进一十则寅位之四又变为二丑位之四曰一下五去四又变为五次以八乘子实三曰三八二十四变子位三为二加四于丑位五上为九乘毕得二千九百二十两也
　　通曰凡左右相乘必有二位数曰防十防今如一位法者十当在本位零当在下位也本位者所乘实数之位也下位者仅下所乘实数一位也如八乘五则五为本位得四十则四当在五位上也八乘六则六为本位得四十八则四当在六位上八当在下位也八乘三则三又为本位矣
　　因乘式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术以三百六十五人为实一十二两为法先以第二位乙法二乘寅实五曰二五一十一在夘位然后以法首一乘寅实五曰一五如五五加在夘位一上为六次以乙法二乘丑实六曰二六一十二一在寅位二加在夘位六上为八以甲法一乘丑实六曰一六如六六加在寅位一上为七次以乙法二乘子实三曰二三如六六加在寅位七上七变为三而
　　丑位上一矣以甲法一乘子实三曰一三如三三加在丑位一上为四得四千三百八十两也
　　通曰凡因乘多位先用第二位法乘起者曰防十防十当在本位之下位零又在下位之下也挨次退右留本位以待法首变之耳如乙法二乘寅实五得一十则一当在夘位也甲法一乘寅实五得五五乃零数当在下位之下故亦在夘位上也盖以寅为本位之时则夘为下位辰为下位之下也以丑为本位之时寅为下位夘为下位之下也
　　因乘定位法
　　式三百六十五人毎人一十二两共得四三八问四为何数曰千数术通曰以法首齐实首布列甲子同位乙丑同位从丑下一位呼实首百是寅位为百矣向左推
　　去丑为千位遇变后得数之始而止
　　今变后之首在丑即知四为千也但
　　法末必单数乃可如今一十二两是
　　也若一两二钱或一百二十两则不
　　同矣总以单数为率下则顺推上则逆推可耳又术通曰视得数之首在实之何位上今在实之十位上又视法有防位今有二位当以十升二位曰百曰千亦知为千也
　　定身因乘法
　　式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术置实数以法一十二除首一不用以乙二为法先以法二乘寅五曰二五一十加一于寅为六不在下位矣次以法二乘丑六曰二六一十二加一于丑六为七加二于寅六为八次以法二乘子三曰二三如
　　六加六于丑七变七为三变子三为四合问
　　通曰凡法首遇一者用之其在位实数即作甲法之乘数矣多位法者以乙法为首从丙法乘起粟布章斤求两用身加六
　　归除法
　　一
　　二一添作五　逢二进一十
　　三一三余一　三二六余二　逢三进一十
　　四一二余二　四二添作五　四三七余二　逢四进一十
　　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五进一十
　　六一下加四　六二三余二　六三添作五　六四六余四　六五八余二　逢六进一十
　　七一下加三　七二下加六　七三四余二　七四五余五　七五七余一　七六八余四　逢七进一十八一下加二　八二下加四　八三下加六　八四添作五　八五六余二　八六七余四　八七八余六逢八进一十
　　九一下加一　九二下加二　九三下加三　九四下加四　九五下加五　九六下加六　九七下加七九八下加八　逢九进一十
　　术曰一位曰归二位曰除【一曰混归】有法有实以法除实得所求数也一位法者止用归法多位法者法首归得某数次法乘其数而除实自左向右以逐位法除实实亦自左向右挨次除之除毕一遍又以法首归之次法除之以实尽为度变后数即所求数也又有无除撞归二法诀曰惟有归除法最奇将身归了次除之有归若是无除数起一还将原数施若遇本归归不得撞归之法不须迟俱详后
　　通曰二与五四与二十五因归皆可互用又三与六可当一十八四与六可当二十四凡数之相通者甚多亦在乎熟之而已
　　归式有银二千九百二十两八人分之问各若干曰三百六十五两术以二千九百二十两为实八人为法以法八归子实二曰八二下加四将子实二不同丑九加四曰四下五去一此用梁上之上一子也丑九变为十三盖不用四退六进一十者归后数上止可加归得数不可加余实也次以法八归丑十三曰逢八进一十于子位归后二
　　上加一为三丑实存五又以法八归丑五曰八五六余二丑五变为六寅二加二为四乃以法八归寅四曰八四添作五寅四变为五而实尽矣得三百六十五两也通曰凡曰下加曰余防皆归后而有余实也如今八人分二千两各得二百共去实一千六百存实四百故曰八二下加四也又如今之八五六余二乃八人分五百各得六十共去四百八十而存实二十也凡曰添作防乃归实无余者也如今八四添作五乃八人分四十两各得五两而实尽也凡曰进防十者乃实内满防归之数也满一遍进一十满二遍进二十如今八归曰逢八进一十乃一千三百之内有一回八百各得一百故曰进一也进在实前余在实后归变本实切勿错位归除式有银四千三百八十两三百六十五人分之问各若干曰一十二两术以四千三百八十为实三百六十五为法先以法首三归实首四曰逢三进一十于子位上一丑减三存一乃以乙法六乘归后子一曰一六如六于寅位除六曰六退十还四抹去丑一寅三加四为七又以丙法五乘归后子一曰一五如五于夘八除五存三而法位毕矣第二遍再以法首三归寅位存实七曰逢六进二十于丑上二寅减六存一乃以乙法六乘第二遍归后丑二曰二六一十二于寅除一夘除二又以丙法五乘第二遍归后丑二曰
　　二五一十于卯除一而法位又毕矣实未尽则又用前法今实巳尽得一十二两也
　　通曰凡归数即变实之本位除数当除实之下位本位者归后数所在之位也除实之下位者即本位之下一位也此与本实不同本实有时即本位有时乃本位之下位也除之十数在下位而零数又在下位之下也如法三归实四曰逢三进一十四为本实进在实前故所归之一当在四前子位也而本实之四变为一矣一在子上则子为本位也乙法六乘归数除实曰一六如六此零数也故于寅除六此子为本位而寅为下位之下耳若第二遍乙法除实曰二六一十二则于寅除一夘除二矣此丑为本位也
　　无除法
　　一归起一还一　二归起一还二【至九归起一还九】式有银一百零八两二十七人分之问各若干曰四两术置银为实人为法以法首二归实首一曰二一添作五变子为五乙法七当乘归数五为三十五于丑寅内除之而丑位无实可除今乃二归曰起一还二起子位归数五内之一改五为四而还丑位二为存实肰后以乙法七乘归数四曰四七二十八于丑除二十寅除八实尽得四两也
　　通曰凡起防还防者归后之一子即当其防归之数也如今二归曰二一添作五是五内一字当二子也故起一即还二矣夫起一者如毎人不可得五止可得四耳
　　撞归法
　　见一无除作九一　见二无除作九二【至见九无除作九九】式有银二百一十六两二十四人分之问各若干曰九两术置银为实人为法以法首二归实首二若用逢二进一十则乙法之一四如四丑一数不足除矣此乃二归曰见二无除作九二变子二为九加二于丑一为三然后以乙法四乘归数九曰四九三十六于丑除
　　三十寅除六实尽得九两也
　　通曰凡撞归者皆不可得十止可得
　　九也法实首数同而次实少于次法
　　者用之盘梁上有三子始便
　　除归定位法
　　式三百六十五人分四千三百八十两得一二问一为
　　何数曰十数术通曰以法布列实左
　　法末仅在实首四之上位从列法首
　　之子位呼实首千数顺右而下丑为
　　百寅为十遇变后得数之首位而止
　　今变数首一在寅即知一为十数也但法末必单数乃可如五个半人则须除去半人不列位矣如三百六十人又须列○作一位矣又术通曰视得数之首在实之何位今在实之千前一位乃万位也又视法有防位今有三位当以万降三位曰千曰百曰十亦知一为十也
　　定身归除法
　　式有银九十一两一十三人分之问各若干曰七两置银为实人为法以法首一除去不用止用乙法三于实首九内存身减之当存七乃以法三乘七曰三七二十一于子实内存七外减二十又减丑一实尽合问
　　通曰凡存数有定非可随意而存也如今式
　　子九内存八则下无二十四可减存六则减一十八外余实又多故定于七也法首遇一用此粟布章两求斤用减六存身
　　商除法
　　式有银三千零一十五两六十七人分之问各若干曰四十五两术置银为实人为法以法首六十于实首三千内商有防回今商四十是有四十回六十也即以法首六乘所商四为二十四于子除二丑除四曰四退十还六共除二
　　千四百以乙法七乘所商四为二十八于丑除二寅除八曰八退十还二又除二百八十余实三百三十五次以法六十于三百内商有防回今商五是有五回六十也以法首六乘次商五为三十于丑除三又除三百以乙法七乘次商五为三十五于寅除三夘除五又除三十五实尽合问
　　通曰凡商数有定如今初商五十则实不足除次法商三十则实余太多故定当四十耳若论盘中变位得数法首多于实首者列商数于实左一位法首少于实首者列商数于实左隔一位挨次商列即得变数
　　折半法
　　式有银六十四两八人分之问各若干曰八两术置法实以法八折半为四实六十四折半为三十二又以法折半为二实折半为一十六再以法折半为一实折半为八法折至一数而止即存实八为各得数也凡法遇偶数者可用此
　　乘除防法【即金蝉蜕殻】
　　因乘诀曰起双下加倍见一只还原倍一挨身上余皆隔位迁归除诀曰加双下除倍加一下除原陪一挨身除余皆隔位迁
　　乘式有米三石五斗毎斗价银七分问共银若干曰二两四钱五分术置米为实以价七分为原数倍得一钱四分为倍数先于实末五斗上呼起双下加倍起去二斗挨身上一钱次位上四分再起二斗挨身上一钱四分却呼见一只还原起去一斗隔位上七分次于三石上呼起双下加陪起二石挨身上一两四钱却呼见一只还原起一石隔位上七钱合问
　　又式有布五十七疋毎疋价银二钱五分问共银若干曰一十四两二钱五分术置布为实以价二钱五分为原数倍得五钱为倍数先于实末七疋内起三个二疋挨身上三个五钱又起一疋挨身上二钱五分次于五十疋内起两个二十疋挨身上两个五两又起一十疋挨身上二两五钱合问
　　通曰前式价是分倍是钱则倍数挨身上原数隔位上后式价是钱倍亦是钱故倍数原数俱挨身上
　　除式有钱二千二百五十文给九十人问毎人若干曰二十五文术置钱为实以九十人为原数倍得一百八十人为倍数先于实首二千前挨身呼加双下除倍除实一千八百余实四百五十次于四百前挨身呼加双下除倍除实一百八十又呼加双下除倍除实一百八十再呼加一下除原隔位除九十合问
　　又式有油四百二十斤毎油七斤半换豆一斗问共换豆若干曰五石六斗术置油为实以七斤半为原数倍得一十五斤为倍数先于实首四百前加两个双除两个一百五十斤又加一除七十五斤次于余实四十五斤前加三个双除三个一十五斤合问
　　通曰又有二句除诀曰有除隔位进无除挨身进止用原数从实前隔一位起毎上一子除一遍原数乘法则毎抺去实尾一子挨身上一遍原数不足为法姑附于此
　　流法
　　乘式有田九百八十一畆毎畆一分八厘九毫问共若干曰一十八两五钱四分零九厘术先以法一分八厘九毫衍定遇一曰一八九遇二曰三七八遇三曰五六七遇四曰七五六遇五曰九四五遇六曰一十一三四遇七曰一十三二三遇八曰一十五一二遇九曰一十七零一乃从实末因之遇某数即用某诀有十字者破本身起余皆挨身一位起也
　　除式有银一十八两五钱四分零九毫派在九百八十一畆问毎畆若干曰一分八厘八毫九丝九不尽术先以法九百八十一畆衍定遇一曰一零一九三六七遇二曰二零三八七三五遇三曰三零五八一零三遇四曰四零七七四七一遇五曰五零九六八三九遇六曰六一一六二零七遇七曰七一三五五七五遇八曰八一五四九四三遇九曰九一七四三一　一亦从实末因之遇某数用某诀挨身一位起也
　　通曰法数有定者方可用此然止乘可用除则不尽也
　　乘除新法
　　归除诀曰进一空除原【实首多等于原数及少于半数者用此】进二空除倍【实首多等于倍数及少于半数者用此】进二随除倍【实首少于半数而倍数首一者用此】进五空除半【实首有余而原数首一者用此】进五随除半【实首多等于半数者用此】因乘诀曰除一空加原【实尾正一数者用此有时隔一位加原数】除二空加倍【实尾二三四数者用此有时隔一位加倍数】除二随加倍【实尾二三四数而倍数首一者用此】除五空加半【实尾五六七八数而原数首一者用此】除五随加半【实尾五六七八数者用此】
　　除式通曰有银八十七两二钱四分二厘四人分之以银八七二四二为实数以人四为原数加倍得八为倍数以人四折半得二为半数列定从左除起视实数左首多于倍数或等于倍数当用进二空除倍乃于实左空一位上二于实首除倍数八再视余实左首少于倍数或多等于原数当用进一空除原乃于实左空一位上一于余实首除原数四再视余实左首少于原数或多等于半数当用进五随除半乃于实左位上五不须空位于余实首除半数二再视余实左首少于半数亦当用进一空除原乃于实左位上一不须空位但于余实左首向右退一位除原数四再视余实首等于倍数当用进二空除倍再视余实首等于原数当用进一空除原再视余实等于半数当用进五随除半实数除尽毎人分得二十一两八钱一分零五毫此式先用进二空除倍次用进一空除原次用进五随除半余实首一二作一十二亦可用进二空除倍乃于余实左位上二不须空位但于余实左首向右退一位除倍数八次用进一空除原次又用进一空除原次用进五随除半亦合
　　乘还原式通曰以毎人分得银二一八一零五为实数其倍数原数半数俱如前不动从右乘起视实右尾过五以上当用除五随加半乃于实尾去五随下位加半数二不须空位再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实尾过五当用除五随加半乃于余实尾去五随下位加半数二再视余实尾过二当用除二空加倍乃于余实尾去二空一位加倍数八再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实满二当用除二空加倍乃于余实尾去二空一位加倍数八共得八十七两二钱四分二厘原首一数除式通曰有银四十五两六钱为实数一十二人分之为原数倍数二四半数六视实首多于倍数用进二空除倍再视余实多于原数用进一空除原再视余实多于倍数两倍以上而原首系一数此为实数有余当用进五空除半须空一位除之再视余实多于倍数当用进二空除倍再视余实等于原数当用进一空除原毎人分得三两八钱
　　乘还原式通曰以三八为实倍原半如前实尾过五系原首遇一者当用除五空加半余实尾过二用除二空加倍余实尾止一数用除一空加原余实尾过二用除二空加倍余实止一数用除一空加原共得四十五两六钱
　　倍首一数除式通曰有银四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘为实数七千三百五十六人分之为原数倍数一四七一二半数三六七八实首多于半数用进五随除半余实首多于半数用进五随除半余实首多于原数用进一空除原余实首少于半数用进一空除原余实首多于半数用进五随除半余实首多于倍数系倍首遇一者当用进二随除倍不空位余实首少于半数用进一空除原余实首多于半数用进五随除半余实首多于倍数用进二随除倍余实等于倍数亦用进二随除倍毎人分得五十六两一钱八分九厘乘还原式通曰以五六一八九为实倍原半如前实尾过五用除五随加半余实尾过二系倍首遇一者当用除二随加倍不空位余实尾满二亦用除二随加倍余实尾过五用除五随加半余实尾过二用除二随加倍余实尾止一数用除一空加原余实尾又止一数用除一空加原余实尾过五用除五随加半余实尾止一数用除一空加原余实满五用除五随加半共得四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘
　　附正珠乘除新法
　　以减代乘法
　　男正珠曰不用因乘而以减法代之数亦天然符合其术须变法数如一位法者作单数于十内减之余者为变数二位法者作防十防数于百内减之余者为变数三位法者作防百防十防数于千内减之余者为变数法既变后乃将变法与实呼减之呼实则自右向左呼法则自左向右逐位呼减减毕余实即为所求数也
　　因式
　　有一百二十人毎人二两问共若干曰二百四十两术珠曰先将法二于十内减之余八即八为变法也以变法八呼丑实二曰二八除十六乃于丑二内除一又当于寅位除六曰六退十还四丑空位寅存四再以变法
　　八呼子实一曰一八除八当于丑位除八曰八退十还二子位空丑存二逐位减毕即丑余之二寅余之四为所求二百四十两也
　　因乘式
　　有一百二十人毎人二两一钱问共若干曰二百五十二两术珠曰此二位法也将法二两一钱作二十一于百内减之余七十九为变法先以甲法七呼丑实二曰二七除一十四乙法九呼丑实二曰二九除一十八皆于丑实二内除之此如以丑二作二百先除一百四十后除一十八止存四十二也
　　故丑位空寅存四夘存二再以甲法七呼子实一曰一七除七乙法九呼子实一曰一九除九此如以子一作一百先除七十后除九也曰七退十还三子位空丑上三曰九退十还一丑存二上一于寅存四上为五夘仍存二逐位减毕即丑余之二寅余之五夘余之二为所求二百五十二两也
　　以加代除法
　　珠曰归除之法有可以加法代者更为易简其术亦须变法数与前因乘相同法既变后乃将归实暗数与变法呼加之暗数者视原法数在实内有防回也即用其防回之数为暗数耳以变法与暗数相呼加于实数之上逐位呼加加毕则其得数与归除无异也
　　归式
　　式一有银一百二十两二人分之问各若干曰六十两术珠曰先将法二于十内减之余八即八为变法也五一两数是为子丑两暗数子实一作一十内有五回原法二也丑
　　实二内有一回原法二也先以变法八呼子暗数五曰五八得四十乃于子实一上
　　加四为五再以变法八呼丑暗数一曰一八如八当于丑实二上加八数巳满十曰八退二进一十乃退去丑位二而于子位五进一为六逐位加毕视子位逓加之六即所求之分数为毎人各得六十两也式二有银一百二十两三人分之问各若干曰四十两术珠曰先将法三于十内减之余七即七为变法也三一两数是为子丑两暗数盖子实一十内有三回原法三余合丑实二为三内有一回原法三也先以变法七呼子暗数三曰三七二十一乃于子实一
　　上加二为三丑实二上加一为三再以变法七呼丑暗数一曰一七如七当于丑位三上加七数巳满十曰七退三进一十乃退去丑位三而于子位三进一为四逐位加毕视子位逓加之四即所求之分数为毎人各得四十两也
　　归除式
　　有银一百二十两二十四人分之问各若干曰五两术珠曰先将法二十四人作二十四于百内减之余七十六为变法五为暗数盖子实一作一百内有五回原甲法二十丑实二作二十内有五回原乙法四也此二位法先以变法甲七呼暗数五曰五七三十五乃于子一上加三为四丑二上加五为
　　七此法之首位加毕矣再以变法乙六呼暗数五曰五六得三十当于丑位七上加三数巳满十曰三退七进一十乃退去丑位七而于子位四上加一为五此法之次位加毕矣如是加毕则子位之五即所求之分数为毎人各得五两也

　　数度衍巻一
　　钦定四库全书
　　数度衍卷二
　　桐城　方中通　撰
　　笔算上
　　加法
　　术曰列散数各横置以类相从【十从十百从百】大左小右自右并起零数纪本位下十进一位百进二位无零本位纪○诸位至左并毕即下纪数为所求总数也
　　进一位式有一万零六百五十四又八千九百零七又五万六千七百八十九又八百八十问共若干曰七万七千二百三十术先并单数四七九为二十此有十无
　　零也本位纪○进二于左次并十数
　　五八八及单数所进之二为二十三
　　本位纪三进二于左次并百数六九
　　七八及十数所进之二为三十二本
　　位纪二进三于左次并千数八六及
　　百数所进之三为一十七本位纪七进一于左次并万数一五及千数所进之一为七本位纪七合问
　　进二位式有散数如图所列问共若干曰二万三千七百五十二术先并单数为一百零二本位纪二进一于
　　左隔位此百进
　　二位也次并十
　　数为五本位纪
　　五次并百数及
　　单数所进之一
　　为一十七本位纪七进一于左次并千数及所进一为二十三本位纪三进二于左万无数即纪所进二合问通曰多层者截作两段三段为便如右试截上六层得总数一五六八一即将此数及下六层求得总数亦合
　　试加差法
　　术曰有九减七减二法九用见数而九减之七用实积数而七减之先减散数余若干次减总数余若干两余相比同则无差
　　九减式试第一式先减散数去○与九不入减并四七
　　五八八六七八八六一五共
　　为七十三九减余一【减去八九七十】
　　二列乂左次并总数三二七七共为
　　一十九九减余一【减去二九一十八】列乂右
　　左右相比数同无差
　　通曰此以见数为主不论千百位也
　　七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余

　　七减余一【减二七一】
　　【十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三三行依法减余五四行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差
　　减法
　　术曰多者列上为原数少者列下为减数所求数为减余从类列位自右减起下纪其余也下数多于上数者

　　为不足减上○而下有数者为无可减二者用借法式有二千七百一十五减四百零二问余若干曰二千三百一十三术原数列上减数列下减数首百从原数百下顺列单位五内减二余三抹去原数五本位纪三次十位一遇○无减本位仍纪一次百位七减四余三抹去原数七
　　本位纪三次千位二遇无减数本位仍纪一合问用借式有四千八百四十减二千五百九十二问余若干曰三千二百四十八术列原数减数单位○不能减二须借左原数一在本位作十减二余八下纪八次十位原数四因右借一存三不能减九借左原数一在本位作十并存三为十三减九余四下纪四次百位原数八因右借一
　　存七减五余二下纪二次千位四减二余二下纪二合问
　　用借用还式数如前式术单位○不能减二借左原数一在本位作十减二余八乃于十位减数九加一作十以还借数四不能减十借左原数一在本位作十并四为十四减十余四百位减数五加一作六以还借数八内减六余二千位四减二余二亦合
　　左减式数如前式术通曰旧法自右起今易自左起千位四内减二余二抹去原数四减数二而变为二次百位八内减五余三八变为二次十位四不能减九于百位变三内退一三又变为二十位四上加十为十四减九余五四变为五次单位○不能减二于十
　　位变五内退一五又变为四单位○上作十减二余八○变为八此法较便
　　试减差法
　　术曰一用如法试之以减数并减余得原数或以减余减其原数应与所减数合又有九减七减二法如试加然但以减数及减余合为一处又如加之散数首行次行耳
　　用加法式试第一式以减数四百零二并减余二千三百一十三为二十七百一十五合原数无差
　　用减法式试第一式以减余二千三百一十三于原数二千七百一十五内减之余四百零二合减数无差九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共
　　为一十五九减余六次并原数
　　二七一五为一十五九减余六
　　左右列比无差
　　通曰九减用实积数亦可盖九数无往
　　不合故也
　　七减式试第一式先以减数之左四○作四十七减余五次作五十二七减余三又以减余之左二三作二十三七减余二次作二十一七减无余次三不足减仍余三俱纪右下乃以各数纪余之三二并为六不足减仍
　　作六再以原数之左二七
　　作二十七七减余六次作
　　六十一七减余五次作五十五七
　　减余六左右列比无差
　　乘法
　　术曰乘即因也用九因法上列原数【即实数】下列乘数【即法】数齐于右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首何数从乘数左首推至总数左首即知通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也
　　十因
　　式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一于九右八在十内少二纪二于八右是八九为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二纪下二未满十故曰未满十乘数也
　　又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数同下纪七故得七十二
　　又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相
　　乘得四下纪四左右上下斜减俱余六下纪六故得六十四
　　又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过于乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内少七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九寄四于左左上下三各
　　加所寄四俱变为七然后左右上下斜减俱无余下纪○故得九
　　又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及于乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二寄一于左左上七加一变为八下六加一变为七然后左右上下斜减俱余四下纪四故得四十二又
　　术三四乘得一十二将一悬于左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合
　　通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛书之无十而藏十也
　　诸式
　　一位乘式有一百五十二人每人六两问共若干曰九百一十二两术列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位纪一本位纪二次以六乘五曰五六三十此足也左位纪三本位纪○次以六乘一曰一六如
　　六此如也左位纪○本位纪六所纪散数用加法合问乘数六是两推至总数首为百
　　多位乘而原数中有○式有四千六百零八人每人三百二十五两问共若干曰一百四十九万七千六百两术列数以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法纪
　　之此五之徧乘也次以二乘八
　　曰二八一十六以二乘○曰二
　　○如○以二乘六曰二六一十
　　二以二乘四曰二四如八如法
　　进位纪之此二之徧乘也次以
　　三乘八曰三八二十四以三乘
　　○曰三○如○以三乘六曰三
　　六一十八以三乘四曰三四一十二如法又进位纪之此三之徧乘也用加法合问
　　原数尾有○式有六百人每人六两问共若干曰三千六百两术以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至总首为
　　千
　　乘数尾有○式有四十五人每人六十两问共若干曰二千七百两术乘数尾有○虽不必乘然一○为十二○为百不可不列位列后从六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至总首为千
　　原数乘数尾俱有○式有六百人每人三百四十两问
　　共若干曰二十万零四千两术列定
　　先以四徧乘次以三徧乘得总数尾
　　三○便于定位
　　通曰加减乘除皆可易横
　　为直而乘用直觉便故附
　　于此至于诸○立法不得
　　不存熟则不用矣
　　试乘差法
　　术曰九减七减如前但左右列数多一互乘得数又减之余列上总数减余列下上下相比也不用散数九减式试第二式除○九外并原数四六八为一十八
　　九减无余列○于乂左并乘数
　　三二五为一十九减余一列乂
　　右以左右一与○乘曰一○如○无数列○于乂上并总数一四七六为一十八九减无余列○于乂下上下相比无
　　差
　　七减式试第四式原数如法减之余三列乂左乘数如法减之余四列乂右以左右三四乘得一十二七减余
　　五列上总数如法减之余五列
　　下上下相比无差
　　通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐
　　位减至右末而止也
　　除法
　　术曰有实有法有用数实即原数列上法即除数列下用即所求分数也上下齐左从左起算下首少于上首者齐列下首多于上首者退位列之于右界格以法除实视法首于实内有防回即用防除之而纪其防除之数于格外为用数也原实变后即为余实存上次法乘用数除实尽法位而止又将法数退一位列下【一徧用数一徧退位与初列退位不同】再视法首于余实内有防回当用防除而又纪其防除之数于第一次用数之右次法又乘第二次用数除实也以法尾退至实尾齐右而止格外所纪为分数有余实亦当存之再除实尾数即用尾数推而知用数之首也
　　通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有实者将左右两实作为防十防也左有实而右无实者作防十也左无实而右有实者为零数也若遇实数可以除此一徧而不足以除下徧者则知用数中当有零矣详后式
　　定列位
　　通曰其法有五不退者二退位者三与珠算无除説同盖不退者有可除之数也退者无可除之数也

　　诸式
　　退位式有三百四十二两九人分之问各若干曰三十

　　八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四【退位故作防十防也】视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列余实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于余实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法
　　尾齐实尾两数则知用数尾八为两也
　　不退位及减用数式有八百五十五两四十五人分之问各若干曰一十九两术法首四少于实首八不退位实八即作八视八内有二回四当以二为用数但二四除实首八而次法二五除一十则无实可除遇此则减用数一止以一为用数一四除四一五除五次以法退列余实四○作四十视有九回四当以九为
　　次用数四九除三十六五九除四十五实尽合问用数中当有○式有七万六千零四十八两八人分之问各若干曰九千五百零六两术退位列法首用数该九八九除七十二又退位列法次用数该五五八除四十又退位列法八适至实之四下左无余实四不足除遇此则纪○以当一徧用数又退位列法次用数该六六八除四十八实尽合问
　　通曰前式格外用数用横列今易为直盖横
　　直俱可用也
　　实尾有○式有三百两六人分之问各若干曰五十两退位列法首用数五五六除三十纪五于格
　　右实数尽矣尚有余○乃退位列法次用数无数而纪○故知所得为五十两也
　　通曰视实尽后法尾去实尾尚空防位毎空一位加一○于用数之右亦合
　　实不尽式有六百五十三两五十八人分之问各若干曰一十一两【余实一十五两未分】又各二钱五分【余实五钱未分】术不退位列首用数该一　一五除五一八除八退位列法次用数该一一五除五一八除八法尾已齐实尾当暂止以察用尾为何数既知为两数余
　　实再除
　　术右式余实一十五两法当退位列用数该二二五除一十二八除一十六退位列法次用数该五五五除二十五五八除四十此用数首根前式用数尾下当是钱数也尚余实俟再除
　　通曰初列实时先于实右加○每加一○作降实尾一数【两降钱钱降分】即以○末为实尾较便
　　试除差法
　　术曰亦用九减七减其除毕无余实者将除数减余列左用数减余列右左右相乘减余列上原数减余列下相比其未尽实者于左右乘后并入余实减余列上原数减余列下比之若除实至半者亦以除数减余列左用数减余列右相乘又取本位【法尾止处】以前余实减余以并左右乘数再减余列上以抺过原数减余列下相比也
　　除无余九减式试第一式除数九九减无余左列○并
　　用数三八为一十一九减余二
　　右列二乘无数列○于乂上并
　　原数三四二为九九减无余列○于乂
　　上并原数三四二为九九减无余列○于乂下上下相比无差
　　除有余九减式试第五式并除数五八为一十三九减
　　余四左列四并用数一一
　　为二不足九减右即列二
　　乘得八又并余实一五为一十四
　　九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差
　　除无余七减式试第一式除数九作九七减余二列左用数三八作三十八七减余三列右乘得六不足七减
　　即列六于上原数三四作三十
　　四七减余六次作六十二七减
　　余六列下上下相比无差
　　除有余七减式试第五式除数五八作五十八七减余二列左用数一一作一十一七减余四列右乘得八又
　　以余实一五作一十五七
　　减余一以此用一并左右
　　所乘八为九七减余二列上原数
　　六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差
　　半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实二一三　用九减并除数六五为一十一九减余二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乘得八乃并法尾止处以前之余实二一为三不足九减即以此
　　三并左右所乘八为一十一
　　九减余二列上并原数抺去
　　三位之八六六为二十九减
　　余二列下上下相比无差
　　用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列
　　右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抺去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差
　　通曰试差之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余同八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉
　　命分法
　　术曰命分者一大防何已分防何命余者为防何分之防何也又曰所余之小防何再分防何命此得者为防何分之防何也
　　通曰第一术即防何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也
　　式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也

　　数度衍巻二
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度术卷三
　　桐城　方中通　撰
　　笔算下
　　奇零列位法
　　术曰奇零者不尽数也加减乗除皆有奇零惟除为多耳以法命之曰几分之几除数为母列上零数为子列下
　　式有实四十六法七用数六除四十二尚余实四命之
　　曰七之四七列上四列下
　　通曰以母分子故以法为母子随母分故以实
　　为子
　　奇零别多寡法
　　术曰母同子异别在子子同母异别在母俱异者别在子母也
　　母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母数等矣但据子数别之子多者为多子少者为少耳
　　子同式若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大子数反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳当以母数少
　　者为多
　　子母俱异式子数母数俱不等以彼此子母互乗得数各注其下较之其较有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也

　　竒零约法
　　术曰约多者为少其法有三一用折半一用通数一用纽数纽数不得则不可复约矣只就见数较多寡用彼此互乘之法
　　折半式十六之八约之为少折母数十六为八折子数八为四
　　约为八之四再折半又约为四之
　　二
　　通数式四十八之三十六欲约之视子母两数有何数相乗而得其数即通数也今以六为通数
　　以六乘八得四十八母可约为八以六乘六得三十六子可约为六
　　纽数式以小减大减尽而止以最后减尽数为纽数以除子母二数得约数也四十八内减三十二余十六又于三十二内减十六两次减尽是十六为
　　纽数矣以十六除四十八得三约母为三以十六除三十二得二约子为二
　　通曰纽即通也但通可见而纽不见耳今以十六为通数以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合
　　奇零并母子法
　　术曰凡两子母数先并母较之使两母数等以两母相乘得共母数次以两母互乘两子得各子数或三四母子不同并较多寡者亦以各母次第叠乗并一共母为实乃以各母数为各法除之即以各子数乗各所除数得各子数也
　　两母子相并式甲三之二乙四之三欲并一共母以两母乘得十二为共母数以甲子二乘乙母四得八为甲并子以乙子三乘甲母
　　三得九为乙并子
　　四母子相并式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲并一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十为共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十为甲并子以乙母三除共母得四十以乙子二
　　乗之得八十为乙并子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十为丙并子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四为丁并子
　　倂母子用纽数式若母数相乗过有纽数可用即用纽数如甲母乗乙母得六嗣当与丙母四相乗有二为纽数可用【二与三乗得六二与二乗得四】则约甲乙相乗之六为三约丙母四为二乃复以甲乙相乗之六乗丙母所约之二得十二以丙母四乘甲乙所约之三得十二是甲乙丙母俱得十二数而止也至丁母无纽数即以十二
　　乘丁母五得六十则前式共母之一百二十今约为六十矣如法逐位母除子乗所得并子俱减前式之半
　　奇零累析约法
　　术曰奇零有析之又析者或三四析欲知其总用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏叠乗也
　　二位析求总式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右两母乗得三十五两子乗得十二是总得三十五之一十二
　　也
　　四位析求总式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四为总母以丁
　　子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六为总子是总为一百四十四之六也
　　化法
　　术曰凡整数后带奇零欲将整数尽依母数化之以母数乘整数以乗得数入子数却以母数除之有零无零两化俱合
　　化整为零式有整六又零五分一之三列六于左列五之三于右以母五乗整六得三十并子数三为三十三是化为五之三十三也
　　零数归整无零式七之五十六欲归为整以母数除子
　　数用八除尽知是八为整数也

　　零数归整有零式九之四十七欲归为整以母除子用五除于子四十七内除五九四十五尚余二知是整五又零九之二也
　　奇零加法
　　术曰两零数以至多零数及整与零数欲并为一者同母则一母可代众母异母则湏叠乗为共母也子不拘同异皆并为一遇有纽数者用纽数求其共母两位者子母互乘以求并子位多者母除子乘以求并子同母之子惟并而已异母之子湏求并子而并也其整与零并先并整次并零合为一曰积
　　同母式曰七之五曰七之六欲并为一同母七即用为
　　共母两子并得十一为共子积为
　　七之一十一归得一零七之四
　　异母式两母不同乘得十二为共母甲子乘乙母得八
　　为甲并子乙子乘甲母得九为
　　乙并子再以两并子并得十七
　　积为一十二之一十七
　　异母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
　　母十一得一千零一为共母依
　　法各母除各子乘得各并子又
　　并得共子积为一千零一之二
　　千六百九十二
　　一整一零并式零曰五之三整曰八倂为一仍以整为整零为零即为八又零五之三也
　　二整一零并式零曰三之二整曰四曰八并为一先倂两整得一十二零数止一位无倂积为一十二又零三之二也
　　整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂两整得十二次并两子得八同母七即为共母积为一十二又零七之八也
　　整与异母二零并式零曰三之二曰四之三整曰八整数无并两母乘得十二为共母左右母子互乘右子得八左子得九为倂子再并得十七积为八又零十二之十七也
　　试加差法
　　通曰加用减试用加试皆有同母异母之分
　　试同母式以右子五减积子十一余六合左子数以左子六减积子十一余五合右子数合则无差
　　试异母式先试母以右母三除共母十二得四合左母
　　数以左母四除共母十二得三
　　合右母数无差次试子以右并
　　子八减积子十七余九合左并子数以左并子九减积子十七余八合右并子数又以左母四除右并子八得二合右子数以右母三除左并子九得三合左子数无差
　　竒零减法
　　术曰先审多寡多为原数少为减数同母止就子数相减异母先求共母又母除子乘求各子乃以相减也通曰多中减少即右内减左也但并母子数有时似少中减多者而化整之后仍是多中减少也
　　同母式曰十七之八曰十七之五相减此当于十七之
　　八内减十七之五也同母止于右子
　　八内减左子五余三得十七之三
　　异母式曰九之八曰三之二相减先以两母乘得二十
　　七为共母乃母除子乘得各
　　子审多寡然后相减余二十
　　七之六
　　整数内减零数式整一十内减零一十一之六先于整内抽出一数依零母数化为一十一作化子整止存九是化为一十一之一十一也于化内减十一之六余十
　　一之五是减余为九零十一之
　　五
　　整内减整及零式两整先减十内减四余六乃于六中
　　抽一依零母化五为子是化为
　　五之五也于化内减五之三余
　　五之二其余整六既抽一止存五是减余为五零五之二
　　整及零内减整及零式整数多者为原数先以两整相
　　减十内减六余四此乃
　　异母以两母乘得八为
　　共母乃子母互乘为子以右子一乘左母四得四为右并子以左子三乘右母二得六为左并子当于八之四内减八之六然四少六多不能减湏于既减之余整四内抽出一数以共母化为八又并右并子四为十二化为八之十二于此内减去八之六余八之六整数止存三是减余为三零八之六
　　整及零内减零式整数不动乃并母子以两母乘得三百六十三为共母母子互乘右得十一为并子左得一百三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子余三百六
　　十三之二百四十二整
　　九止存八是减余为八
　　零三百六十三之二百
　　四十二【可约为八零三之二】
　　通曰乘除内用加减加减内亦用乘除故四法通而一法通也
　　试减差法
　　试同母式以减余子三并入左子五为八合右子即以减余子三于右子八内
　　减之余五亦合左子无差
　　试异母式以减余二十七之六与左三之二相加合右九之八此两母乘得八十一为共母以减余子乘左母得十八乘右母得五十
　　四再并为七十二得八十一之七十二约之为九之八
　　奇零乘法
　　术曰两零相乘当以母乘母子乘子零与整乘则置整数与零并列而整数上立一数为母与零母并列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有带零者法详后
　　零与零乘式四之三与三之二相乘以两母乘得十二为乘母两子乘得六为乘子是乘为一十二之六
　　零与整乘式五之四与整八相乘乃以八上立一为母
　　作一之八与五之四并列依法乘
　　得五之三十二通曰但以整数乘
　　零数之子为乘子可也
　　整带零与整乘式整三零六之五与整八相乘先以右
　　整三与母六乘得十八并子五
　　得二十三为子化为六之二十
　　三以左整八上立一为母并列依法乘得六之一百八十四
　　整带零与零乘式四零三之二与二之一相乘依法右
　　位整乘母得十二并子二得十
　　四为三之十四与左零数并列
　　乘得六之十四
　　整带零与整带零乘式四零二之一与三零五之一相
　　乘依法整三与母五乘得十五
　　并子一得十六左为五之十六
　　整四与母二乘得八并子一得九右为二之九并列乘得一十之一百四十四
　　通曰竒零与常法不同常法皆乘少为多今或乘多为少葢借用虚数实非乘多为少也
　　试乘差法
　　通曰乘用除试除用乘试葢奇零试差皆彼此还原也式以前零与零乘式试之以乘得十二之六为原数以
　　其两相乘之数皆为
　　除数但湏倒位前曰
　　三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除数右母二乘原母十二得二十四以除数右子三乘原子六得十八是为二十四之十八约为四之三而合上左其左位依法还原为三十六之二十四约为三之二亦合上右
　　奇零除法
　　术曰两零相除右列原数左列除数却将除数倒列子母而与原数并列亦用母乘母子乘子之法乘出数即除出数也
　　零除零式二之一为实列右六之一为法列左倒为一
　　之六乃与二之一并列母乘母
　　子乘子即得除出数为二之六
　　也
　　零除整式整六为实三之二为法法倒为二之三实立
　　一为母作一之六乃并列相乘得
　　除出数
　　通曰乘除本互用于此可见
　　整带零除整式六为实四零三之二为法以母三乘整
　　四为十二并子二为十四
　　化为三之十四再用零除
　　整法得除数
　　整除零式三之二为实整六为法以六上立一为母又
　　倒为六之一与三之二并列乘得
　　除数
　　整除整带零式六零二之一为实三为法以整六乘母
　　二得十二并子一得十三化为二
　　之十三整三立母倒位并列乘之
　　整带零除零式三之二为实六零二之一为法以整六
　　乘母二得十二并子一得
　　十三化为二之十三倒位
　　乘之
　　零除整带零式六零二之一为实四之三为法以整六
　　乘母二并子一得十三化为二之
　　十三倒法位乘之
　　整带零除整带零式六零二之一为实三零五之二为
　　法依法实化为二之十三
　　法化为五之十七倒法位
　　乘之
　　试除差法
　　式以前零除零式试之以乘得二之六列右除数六之
　　一列左母乘母子乘子
　　得十二之六约为二之
　　一合右原数无差
　　重零除尽法
　　术曰归除不尽曰奇零然有原数内本来先带奇零者是大奇数内又有小奇数也若欲除之使尽当先归之使一列小奇于右列大奇于左两母相乘为总母又以小奇母乘大奇子并入小奇子为共子此即是除尽之数
　　大奇内有小竒式四人分一十五零三之二其不尽者整三零三之二也三之二为小奇四之三为大奇两母乘得十二为共母小奇
　　母乘大奇子得九并小奇子二为十一作共子是一十二之一十一为除尽数也
　　大奇内小奇有小奇式若小奇内复有小奇至三至四
　　者如
　　七除
　　不尽
　　而余
　　四数为七之四而又以此四中之一剖为五停之二又以二中之一剖为四停之三又以三中之一剖为三停之二此乃大奇内带三小竒也先并大次两母五七乘得三十五为母以次母五乘大竒子四得二十并入次子二得二十二为子是为三十五之二十二再并三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十为母以三奇母四乘大次并子二十二得八十八并三奇子三得九十一为子是为一百四十之九十一再并四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十为母以四奇母三乘大次三并子九十一得二百七十三并四奇子二得二百七十五为子是为四百二十之二百七十五此即通并即除尽数也可约为八十四之五十五
　　大奇内有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一

　　位者当用加除二法而前式葢防法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一为母倒位并列乘得十二之二【此用整除零法】后用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左两母相乘得四十八为共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六并得四十四是积为四十八之四十四也【此用异母加法】约得一十二之一十一而合除尽数矣
　　附铺地锦
　　乘式有物二十三件每件价银五钱六分五厘问共若
　　干曰一十二两九钱九分五厘术
　　物数为实列上价数为法列旁相
　　呼填数于格内呼毕斜格成总也
　　先呼三五一十五次呼三六一十
　　八次呼三五一十五填三下之格内后呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格内乃斜取总数一为一十一一为二两五一二一为九钱八一为九分五为五厘也
　　除式有银九十四两五钱买物七十斤问每斤若干曰

　　一两三钱五分术先画图置银数于内为实以物数为法自下左旋而上而右止用珠算归除诀先除九十起曰逄七进一十填在左图右格为一两又曰七二下加六次除四两因加六作十曰逄七进一十将此一并九十图内存二作三填在九十图左格为三钱又曰七三四余二次除五分因加二作七曰逄七进一十将此一并四两图内作四又作五填在四两图右格为五分共得一两三钱五分也
　　洛书算
　　通曰洛书用九八卦旋中加升减降法异理同九内易位越十移宫过去未来用之无穷

　　加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也
　　减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得

　　通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也

　　数度衍巻三
　　钦定四库全书
　　数度衍卷四
　　桐城　方中通　撰
　　筹算
　　九筹

　　通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也
　　开方筹
　　通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰

　　立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数

　　乘法
　　术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数
　　一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七
　　十二两　以五十九人为实八
　　两为法先依实数查第五筹第
　　九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两
　　二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法
　　依实查五四两筹齐列先依法
　　尾四查第四格曰六曰一○曰
　　二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数
　　通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者説详后式
　　筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问
　　共若干曰一千五
　　百一十二两　以
　　五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格
　　曰八曰○曰一进一位列之加得合问
　　通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若
　　干曰五百二十二两
　　以八十七人为实查筹
　　并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四
　　八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣
　　用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰
　　二万零六百七十
　　二两　以六百零
　　八人为实查六筹
　　零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四
　　曰二○曰八曰一进一位列之加得合问
　　通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也
　　除法
　　术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或畧少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之
　　一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法
　　查六五两筹左右齐列
　　查九格内何格数与实
　　相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二
　　五适等即五为商数矣
　　二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各
　　若干曰三十五两术
　　列三千三百二十五
　　两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三
　　百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五畧少于实数四格则多矣用三爲初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五并七】五适等用五爲次商
　　商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作
　　三千二百二十八畧
　　少于实数七格则多
　　矣用六爲初商相减
　　余一十以余实一○及截七六作
　　一千零七十六此乃次位无实也
　　次商当作○竟不除实余实仍是一千零
　　七十六查至二格一○七六等用二爲三商
　　通曰次位三位俱无实者卽一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各
　　若干曰三十五两
　　余实一十一两
　　列实查筹二筹横数止三位截实左
　　三位曰三三三查至三格自左向右
　　曰二八五畧少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五畧少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也
　　开平方法
　　术曰有积数【即实数】有商数商有方法有亷法隅法置积数从末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或畧少者取以除实但自左一防为始防前无位则自乘止于零数防前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章
　　通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商亷积之数处初商与隅积之问也
　　第一求初商之根为方法乙为
　　方积也不尽求二防之商倍初商
　　根为廉法甲丙两长邉也隅法丁
　　方一角也此甲乙丙丁为平方二
　　商之形如三商则加戊巳亷及庚
　　隅也
　　式有积三万二千○四十一平方开之问邉得若干曰
　　一百七十九
　　别列积为实从
　　末位一下作防
　　向左隔一位○
　　下作三下作
　　防共得三防知商有三位
　　也防左无实三作零数视
　　方筹内自乘无三近少为
　　一平行取一为方法为初
　　商乃于实三内减去一格
　　自乘之一存二以共次防
　　实曰二二○为余实次倍初商根得二为亷法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于两筹横行内求二二○无则用近少者一八九在第七格即七为次商为隅法乃以一
　　八九减余实二二○余三
　　一以共三防之实曰三一
　　四一为次余实再倍初次
　　两商之一七得三四【初商一作】
　　【一十次商七共为十七倍为三十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方邉一百七十九也
　　开立方法
　　术曰有积数有商数商有方法有平廉法长亷法隅法置积为实从末位作防向左隔二位作防每一防有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一防为始防前无位则再乘止于零数防前有一位则再乘应有十数防前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二防者以初商自乘而三倍之为平亷法以初商三倍之为长亷法却以平亷法数查筹列立方筹左以长亷法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长亷法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方邉也不尽者依法命之详少广章
　　其一作六面方体诸面线角皆相等
　　此名方法体成甲乙丙丁形
　　通曰此初商形也凡边皆初商之
　　数
　　其二作六面扁方体其上下面各与
　　方法等旁四面之髙少于方法之髙
　　而四棱线皆等此名平亷法体成戊
　　己庚辛形
　　其三作六面长方体其上下左右四
　　面与平廉之旁面等两端之四界线
　　皆与平廉之髙等此名长廉法体成
　　壬癸形
　　其四作六面小立方体六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体成子丑形
　　通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉后加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与后之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与后之边

　　齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣
　　式有积九百一十二万九千三百二十九立方开之问边得若干曰二百零九术别列积数为实从末位九下

　　作防向左隔二位
　　作凡三防知商
　　有三位也防前无
　　实则实首九为零
　　数视立方筹内再
　　乘之数无九三格
　　二七过实用二格
　　八实之近少数也
　　即取二为方法为
　　初商九内减八存一以
　　共次之实曰一一二
　　九为余实将初商二自
　　乘得四又三倍得十二
　　为平廉法取一号二号
　　两筹列方筹左又将初
　　商二三倍得六为长廉
　　法取六号筹列方筹右
　　乃于立方与平廉共三筹
　　内之横行数取其少于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三防之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍之得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○号○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹
　　乃于立方与次平廉共
　　五筹内之横行数取其
　　少于余实者为约数至
　　第九格曰一○八○七
　　二九另列之向立方筹
　　右平行取九格之自乗
　　数八十一以乗次长廉
　　六○【此作六十】得四八六○
　　【此八十一回六十也】进一位列约
　　余实之一　一二九三二九恰尽乃以约数之格数九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也
　　通曰长亷筹止用其号数格内诸数皆无用卽不列筹而止列数亦可开方宜入少广章因有此二筹故立式于此

　　数度衍巻四
　　钦定四库全书
　　数度衍卷五
　　桐城　方中通　撰
　　尺算
　　法尺
　　通曰法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不

　　移如此乃可为法
　　实尺
　　两尺分寸湏等不可稍
　　异作一法尺二实尺
　　通曰两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也
　　乘法
　　术曰先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又湏预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也
　　通曰变通升降其用始广如实尺数大不便安放者湏降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必湏俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实
　　式有五人每人四两问共若干曰二十两术以四两为
　　四分作实数以五
　　人为五寸作法数
　　将实尺比定四分
　　横安于法尺一寸
　　空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十故知所得二寸为二十两也
　　降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两术以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一
　　小不可安放乃降
　　十倍安于法尺一
　　寸空处量法尺五
　　寸九分空处得四
　　寸七分二厘先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得为四百七十二两也【此系升法以代降实】
　　实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十六两术以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量
　　法尺八寸空处得
　　四寸八分原以分
　　为两是为四十八
　　两先半后倍倍得
　　九十六两也
　　法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若干曰一百九十二两术以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸
　　八分以分为两是
　　为四十八两倍之
　　得九十六两再倍
　　之得一百九十二
　　两合问
　　通曰因法实俱折半故加倍以还实再加一倍以还法也
　　实数再折式有八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两术以八人作八寸为法以二十四两折半得
　　一十二两又折半
　　为六两作六分为
　　实用实尺比定六
　　分安于法尺一寸
　　空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两合问
　　通曰再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦合法实俱再折式有三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两术以三十二人折半得一十六人又
　　折半得八人作八
　　寸为法以二十四
　　两折半得一十二
　　两又折半得六两
　　作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两合问
　　通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合
　　整零截量式有二十四人每人五钱三分问共若干曰一十二两七钱二分术以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之
　　将实尺比定五分
　　三厘安于法尺一
　　分空处实大不便
　　安顿降之安于法
　　尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数也因以尺之厘为
　　银之分故知爲十
　　二两七钱二分又术
　　以二十四人作法尺
　　二尺四寸以五钱三
　　分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处量法尺十寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合
　　通曰所截爲二十人故加倍若三十人则用三乗四十人则用四乗也
　　除法
　　术曰法实数定之后将实尺比定实数定于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何卽爲所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分法量之
　　式有银二十二两四十四人分之问各若干曰五钱术以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四
　　分为法将实尺比
　　定二寸二分安于
　　法尺四寸四分空
　　处乃量法尺之一
　　分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也通曰量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也
　　降数式有银四十四两二十二人分之问各若干曰二两术以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二
　　分空处乃量法尺
　　一分空处得二厘
　　因先降数此当升
　　为二分分为银之
　　两则知所得为二两也
　　折实式有一十八两六人分之问各若干曰三两术以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘
　　因降实此当升为
　　一寸五分又因折
　　实此当倍为三寸
　　以寸为两故知一
　　人所得为三两也
　　法实俱折式有一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱术以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处
　　乃量法尺一寸空
　　处得一分五厘因
　　降实当升为一寸
　　五分寸为两故知
　　一人所得为一两五钱也
　　通曰法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故湏倍之除折则所得即所求数不必又倍矣葢折亦除故也
　　随分式有银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两术以八十
　　两作八十分为实
　　将实尺比定八十
　　分安于法尺百分
　　空处如欲作四平
　　分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也
　　通曰四平分者先将四除十寸得二寸五分五平分者先将五除十寸得二寸
　　整零截量式有三十二两五人分之问各若干曰六两
　　四钱术以三十二
　　两作三尺二寸为
　　实以五人作五寸
　　为法先截实末二
　　寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸故知每人得六两四钱也
　　通曰后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也
　　比例法
　　术曰有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前实数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也
　　通曰比例无穷不可尽举引而推之存乎其人
　　式有银四百四十两二百二十人分之人得二两今又有银八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人术将二百二十人作二寸二分为法将四百四十
　　两作四寸四分为
　　实以实尺比定四
　　寸四分安于法尺
　　二寸二分上实大
　　降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人矣
　　通曰前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也
　　又式有银三两给六人今又有银七两照前例应给几人曰一十四人术以三两作三寸爲法以六人作六分爲实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分爲人卽知所
　　得爲一十四人也
　　又术以三两作三
　　分爲实以六人作
　　六分爲法将实尺
　　比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分卽一十四人也
　　通曰法实可互更乗除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以比例卽乗除亦无非比例故比例以尺爲便

　　数度衍巻五
　　钦定四库全书
　　数度衍卷六
　　桐城方中通撰
　　勾股【勾股之一】
　　周髀勾股圆方图

　　赵君乡注曰勾股各自乗并之为实开方除之即也【鸾曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五开方得五】按图又可以勾股相乗为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乗为中黄实【倍勾差二为四自乗得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通】加差实亦成实【加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也】以差实减实半其余以差为从法开方除之复得勾矣【以差实九减实二十五余十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减实二十五余二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通】加差于勾即股【加差一于勾三得四】凡并勾股之实

　　即成实【勾实九股实十六并得二十五实】或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股差为广股并为袤【以差一为广股四并五得九为袤左图外青】而股实方其里【左图中黄十六】减矩勾之实于实开其余即股【减九于二十五余十六】倍股在两边为从法开矩勾之角即股差【倍股四为八为从开九得一也】加股为【加差一于股四得五】以差除勾实得股并【以一除九得九即股四五并数】以并除勾实亦得股差【以九除九得一】令并自乗与勾实为实【九自乗得八十一又加九得九十】倍并为法【倍九为十八】所得亦【以十八除九十得五】勾实减并自乗加法为股【以九减八十一余七十二以十八除之得四】股实之矩以勾差为广勾并为袤【以差二为广勾三并五得八为袤】而勾实方其里【右图中青九】减矩股之实于实开其余即勾【减十六于二十五余九】倍勾在两边为从法开矩股之角即勾差【倍勾三为六为从开十六得二也】加勾为【加差二于勾三得五】以差除股实得勾并【以二除十六得八即勾三五并数】以并除股实亦得勾差【以八除十六得二】令并自乗与股实为实【八自乗得六十四又加十六得八十】倍并为法【倍八得十六】所得亦【以十六除八十得五】股实减并自乗如法为勾【以十六减六十四余四十八以十六除之得三】两差相乗倍而开之所得以股差増之为勾【一与二乘得二倍为四开得二増一为三】以勾差増之为股【以二増二得四】两差増之为【二之上又增一与二得五】倍实列勾股差实见实者以图考之倍实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实【倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也】以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并【以差实一减五十余四十九开得七即勾三股四并数】令并自乗倍实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差【七自乗得四十九倍实二十五为五十相减余一开之得勾股差】以差减并而半之为勾【以差一减七余六半得三】加差于并而半之为股【以差一加七得八半得四也】其倍为广袤合【倍二十五得五十为广袤合淳风曰倍五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八】而令勾股见者自乗为其实四实以减之开其余所得为差【以七七自乗得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乗得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股差减股并余数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾并余数鸾言错也】以差减合半其余为广【以差一减合七余六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十余二四半之得一与二也一即股差二即勾差以差减即各袤广也鸾言错也】减广于即所求也【以广三减五即所求差二也淳风曰以广一与二各减五即所求股四勾三也鸾言错也】观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦纪众理贯幽入微钩深致逺故曰其裁制万物唯所为之者也通曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂防也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乗也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为羃之一角羃之一角三分损一而为矩股之一角也

　　容股股容勾图説

　　通曰方内之容递差于二九九之内容八八余为十七八八之内容七七余为十五七七之内容六六余为十三六六之内容五五余为十一五五之内容四四余为九四四之内容三三余为七三三之内容二二余为五二二之内容一一余为三是余之相降莫不差于二也则实之容股实股实之容勾实七九之余所固然矣自而推之与勾股差并六实三十六其容实之余较容股实之余必増二矣与勾差并七实四十九其容与勾股差并实之余较其并实容之余必増二矣与勾并八实六十四其容与勾差并实之余较其并实容与勾股差之余必増二矣与股并九实八十一其容与勾并实之余较其并实容

　　与勾差之余必増二矣自勾而降之勾差二实四容于勾实之中其余较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾差实之中其余较勾之容勾差必损二矣容有大小余无异同受容者变而容之者亦变故耳
　　勾股名义
　　勾【横也】股【直也】【斜也】勾股较【勾股相减也】勾较【勾相减也】股较【股相减也】勾股和【勾与股并也】勾和【勾与和也】股和【股与并也】较和【与勾股较并也】和和【与勾股和并也】和较【与勾股和相减也】较较【与勾股较相减也】
　　勾股求法
　　式甲乙股四乙丙勾三问甲丙几何曰甲丙五术股四自乘得十六勾三自乗得九两自乗数并之得二十五为实积用少广章
　　开平方法除之得边五即也
　　又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为也
　　通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也
　　勾求股法
　　式乙丙勾三甲丙五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乗得九五自乗得二十五相减余十六平方开之得边四即股也
　　又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为板厚为勾求阔为股也
　　通曰圜内切中径成两勾股也
　　股求勾法
　　式甲乙股四甲丙五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乗得十六五自乗得二十五相减余九平方开之得边三即勾也
　　又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台髙为股袤斜为求勾以益上方斯得下方也【一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也】
　　又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为先以亩法通池八分为一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股求勾得水深也
　　勾与股较求股法
　　式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九较九除之得八十一为股和和内减较余七十
　　二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为二术勾自乗得七百二十九较自乗得八十一相减余六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乗较自乗并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为
　　第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一【即除也】为
　　丙巳直角形即得丙庚边与甲
　　乙甲丙股和等何者甲丙
　　羃之甲辛直角方形内当函一
　　股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与等即丙庚与股和等
　　第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙羃之
　　甲癸直角方形内当函一勾羃一股
　　羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之
　　外分作甲五丑癸丑子三直角形即
　　丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等
　　通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚
　　磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也
　　又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股较引葭至岸为水深为股
　　又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股较门阃之半为股门广为【门广并不合之半为】
　　又式垣髙一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股较木长为画去墙为股
　　又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为锯道为勾锯深为半股较半勾自乗得二尺五寸半较除之又加半较
　　得径为
　　通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也【按此条图説有误处】
　　股与勾较求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千
　　二百九十六较除之得七十二为勾和和内减较余五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为
　　通曰勾与股较求股之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛
　　直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾
　　和等何者甲丙羃之甲丑直角方形
　　内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内
　　截取子卯丑辰边各与甲丁较线等
　　即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲夘夘辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾和等
　　第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角
　　方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折
　　形为实次倍甲丁较线为乙寅线以
　　为法除实即得乙子直角形与甲壬
　　戊磬折形等何者乙子直角形加一
　　等较羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙夘夘寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等
　　通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也
　　与勾股较求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术自乗得二千零
　　二十五倍之得四千零五十较自乗得八十一相减余三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较余五十四半之得二十七为勾二术较自乗得八十一折半得四十零五与自乗二千零二十五相减余一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五余二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股
　　第一术论曰羃为甲戊直角方
　　形倍之为己丙直角形较羃为甲
　　庚直角方形与甲辛等相减即得
　　减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与夘辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾
　　通曰第二术较羃为甲辛直角方形
　　半之为甲戊直角形与甲庚直角形
　　等羃为甲壬直角方形减较羃半
　　甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
　　午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅两直角方形也
　　勾与股和求股法
　　式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九
　　股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一余七十二半之得三十六为股二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减余五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减余第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八与和自乗相减余五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾余股以股减八十一余
　　第一术形论同勾与股较求股第一术
　　通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也
　　今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之余庚壬甲夘两形并又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股和之乙夘线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
　　又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺问折处髙几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股
　　股与勾和求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千二百九
　　十六和七十二除之得十八为勾较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为
　　通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术
　　与勾股和求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乗得二千零二十五倍
　　之得四千零五十与和自乗得三千九百六十九相减余八十一为实平方开得九为勾股较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股
　　通曰和各自乗相减又减自乗余开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直
　　角方形夫甲丙之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也
　　勾较与股较求勾股法
　　式甲乙勾较十八戊丙股较九问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术勾较十
　　八与股较九相乗得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为和较加勾较十八得三十六为股和较加股较九得二十七为勾用勾股求法得四十五为或以勾较十八并勾得或以股较九并股得
　　论曰股较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方
　　形两羃并得四百零五以九减十
　　八余九即勾股较自之得八十一
　　为干兑直角方形元设两较互乗
　　为癸戊子丑两直角形并得三百
　　二十四以减四百零五亦得八十
　　一何以知之癸戊子丑三百二十
　　四为实开方得十八之寅夘直角方形边则和较也凡直角三边形之羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之
　　甲酉直角方形必不等于丙午上
　　之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
　　直角方形并而此不相等之较必
　　勾股较羃之八十一也何者若于
　　甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
　　元设勾股勾股分之即甲酉形
　　内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此两存形相当相抵则一羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之
　　八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅夘形则减寅夘之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅夘之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股较矩内形如甲己者四今以四羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等也丙申勾股和也则两间等寅卯形边之丙未不得不为和较矣既得丙未十八为和较即以元设丙较相加可得勾股各数也何者未申也未艮勾较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则也又式户不知髙广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问髙广斜各几何曰髙八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾较纵不出二尺为股较
　　股和与勾和求勾股法
　　式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术股和八十一与勾和七十二相乗得五千
　　八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为和和减勾和余三十六为股和和减股和余二十七为勾用勾股求法得四十五为
　　论曰两和相乗为乙巳
　　直角形倍之为丁戊直
　　角形以为实平方开之
　　得己庚直角方形与丁
　　戊等即其边为和和
　　者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一羃己庚形内余一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆和和
　　勾与较和求股法【较和者与勾股较和也】
　　式勾二十七与勾股较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾和并得八十一为股和除实得九为股较加股和得九十半之得四十五为股较减股和得七十二半之得三十六为股
　　勾与股较和求股法【股较和者股与勾较和也】
　　式勾二十七股与勾较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较和法葢与勾股较和为五十四股与勾较和亦五十四也
　　股与较和求勾法【较和者与勾股较和也】
　　式股三十六与勾股较和五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾
　　股与勾较和求勾法【勾较和者勾与股较和也】
　　式股三十六勾与股较和三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾
　　与勾较和求勾股法【勾较和者勾与股较和也】
　　式四十五勾与股较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实与和并得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾【按此法当取勾股较今用和并盖数偶合非法也】
　　与股较和求勾股法【股较和者股与勾较和也】
　　式四十五股与勾较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗倍之得四千零五十为实与和相减余九又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九下同与勾较和求勾股法勾与和和求股法【和和者与勾股和和也】
　　式勾二十七与勾股和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减和余八十一为股和除实得九为股较减股和余七十二半之得股股较加股和得九十半之得
　　勾与股和和求股法【股和和者股与勾和和也】
　　式勾二十七股与勾和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和和法葢和皆一百零八也
　　股与和和求勾法【和和者与勾股和和也】
　　式股三十六与勾股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾和除实得十八为勾较减勾和余五十四半之得勾勾较加勾和得九十半之得
　　股与勾和和求勾法【勾和和者勾股和和也】与
　　式股三十六勾与股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和和法葢和数相同也
　　与勾和和求勾股法【勾和和者勾与股和和也】
　　式四十五勾与股和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减和余六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较减勾股和余五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股
　　与股和和求勾股法【股和和者股与勾和和也】
　　式四十五股与勾和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和和法盖和数相同也
　　勾与和较求股法【和较者与勾股和较也】
　　式勾二十七与勾股和较十八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较余九为股较除实得八十一为股和加股较得九十半之得股和减股较余七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股各几何曰股十五步十七步术容圆径即和较勾与股和较求股法【股和较者股与勾和较也】
　　式勾二十七股与勾和较三十六问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和较法葢以勾减与勾股和较十八余九以勾减股与勾和较三十六余亦九也股与和较求勾法【和较者与勾股和较也】
　　式股三十六与勾股和较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减较余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾股与勾和较求勾法【勾和较者勾与股和较也】
　　式股三十六勾与股和较五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和较法葢以股减与勾股和较十八余十八以股减勾与股和较五十四余亦十八也与勾和较求勾股法【勾和较者勾与股和较也】
　　式四十五勾与股和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减较余九为勾股较又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较余五十四半之得勾与股和较求勾股法【股和较者股与勾和较也】
　　式四十五股与勾和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和较法葢以减勾与股和较五十四余九以减股与勾较三十六余亦九也勾与较较求股法【较较者与勾股较较也】
　　式勾二十七与勾股较较三十六问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较较余九为股较除实得八十一为股和减股较余七十二半之得股股和加股较得九十半之得
　　勾与股较较求股法【股较较者股与勾较较也】
　　式勾二十七股与勾较较十八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较较法葢以勾减较较三十六余九以勾减股较较十八余亦九也
　　股与较较求勾法【较较者与勾股较较也】
　　式股三十六与勾股较较三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股并较较得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾股与勾较较求勾法【勾较较者勾与股较较也】
　　式股三十六勾与股较较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股减勾较较余十八为勾较除实得七十二为勾和下同股与较较法
　　与勾较较求勾股法【勾较较者勾与股较较也】
　　式四十五勾与股较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实并勾较较得六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾与股较较求勾股法【股较较者股与勾较较也】
　　式四十五股与勾较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾较较法葢较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也
　　有积【勾股之二】
　　有积勾股较求勾股法
　　式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术较自乗得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为
　　勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九余五十四半之得勾求得二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股【俱详少广】又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得
　　通曰子较羃也丑　　　　通曰子较羃也
　　寅卯辰四因积也　　　　丑寅并与卯等
　　各边皆勾股和　　　　　二因积也合之
　　为羃
　　通曰较为从方者九回二十七得二
　　百四十三为较勾矩以减积九百七
　　十二余七百二十九为勾羃较为减
　　从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃
　　有积勾股和求勾股法
　　式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术积四因得三千八百八十八
　　和自乗得三千九百六十九相减余八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和余五十四半之得勾勾股求得二术积二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相减余二千零二十五开平方得
　　有积求勾股法
　　式有积四百八十六为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四自乗得二千零二十
　　五相减余八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾求得股通曰以较为减从方开之亦得股
　　有率【勾股之三】
　　勾与股率勾和率求股法
　　式勾十股率三勾和率七问股各几何曰股一十零五一十四五术以勾和率自乗得四十九为勾和准以股率自乗得九并勾和准得五十八折半得二十九为准二率相乗得二十一为股准以准二十九减勾和准四十九余二十为勾准以准二十九乗勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为以股准二十一乗勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股
　　通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于
　　乙至甲同在乙起同至甲防也【按此图应在又式后】
　　又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行防乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行也又东行股也甲行七勾和率也乙行三股率也
　　容方与勾股率求勾股法
　　式容方径一千五百股率三勾和率五问勾股各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五术以勾和率自乗得二十五为勾和准股率自乗得九并勾和准得三十四半之得十七为准二率相乗得十五为股准以准十七减勾和准二十五余八为勾准以勾准乗容方径得一万二千以股准十五除之得余勾八百加容方径得二千三百为勾以准十七乗勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为以股准十五乗勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股
　　通曰此亦迟速相较也速五迟三速
　　于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙
　　起同至甲防乙戊乙巳皆容方径方
　　也乙过戊至丙勾也戊丙余勾也乙过丙至甲勾和也乙过巳至甲股也己甲余股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也【按此图应在又式后】
　　又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙防问各行几何曰甲南行二千三百步【邑中一千五百步南门外八百步】斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半【邑中一千五百步东门外二千八百十二步半】术南行勾也南门外余勾也斜行也东行股也东门外余股也邑中至门皆容方径也甲行五勾和率也乙行三股率也
　　容方【勾股之四】
　　勾股容方法
　　式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乗得九百七十二为实勾股相并得六十三为
　　法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
　　论曰甲乙股乙丙勾相乗为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边
　　十五四二八即成甲戊己庚直角
　　形等甲乙丙丁形而己庚边截乙
　　丙勾于癸截甲丙于壬成乙辛
　　壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形
　　通曰勾股稍近者容方大勾股悬逺者容方小
　　又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬
　　为直角方形
　　容圆【勾股之五】
　　勾股容圆法
　　式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乗得一万九千二百倍之得三万八千四
　　百为实别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅夘皆与乙丁等
　　通曰容圆径即和较也勾股和求减和余亦容圆径也
　　论曰甲乙
　　股乙丙勾
　　相乗即甲
　　乙丙丁直
　　角形倍之
　　为实即丙
　　丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于防于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等夘戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离夘戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午防辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等防寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍夘离两交角又等丑卯与戌夘复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲防午甲防寅两形之甲寅甲午既等甲防同线甲午防甲寅防又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其防于此详后二卷

　　数度衍卷六
　　钦定四库全书
　　数度衍卷七
　　桐城　方中通　撰
　　测量【勾股之六】
　　容方与余勾求余股法
　　式容方径为丁乙一百五十余勾为丁丙三十问甲戊余股防何曰七百五十术以容方径自乗得二万二千五百为实以余勾为法除实
　　得七百五十为余股
　　容方与余股求余勾法
　　式容方径一百五十余股七百五十问余勾防何曰三十术容方径自乗得二万二千五百为实以余股为法除实得三十为余勾
　　又式邑方二百步四面居中开门东门外十五步有木问出南门防步见木曰六百六十六步六分步之一术半邑方为容方东门外为余勾南门外为余股
　　测髙式欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙为丁丙髙一丈却后五尺立戊戊己髙四尺使目在己视表末丁与甲为一直线问甲乙髙防何曰四十尺术以丁丙表髙十尺减戊巳目髙四尺余丁辛六尺以乗庚辛二十五尺【与乙丙等】
　　得一百五十尺为实以丙戊五尺为法除实得甲壬三十尺加表髙十尺得四十尺为甲乙之髙
　　通曰丁辛容长方径也丁壬庚辛容长方形也辛巳【与丙戊等】余勾也甲壬余股也容方则径自乗容长方则横径直径相乗也
　　测深式甲乙丙丁井欲测其深井径甲乙五尺立戊甲表于井口髙五尺従戊视丙截甲乙径于己甲已四寸
　　问井深防何曰五丈七尺五寸术以
　　井径五尺减甲巳四寸余己乙四尺
　　六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸为实以甲已四寸为法除实得甲丁深五丈七尺五寸
　　通曰己乙容长方径也戊辛余勾也乙丙余股也测逺式欲测甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形
　　丁乙与甲为直线每表相去一丈
　　乃于己表之右戊上视丙表与甲
　　为直线戊巳三寸问逺几何曰三十三丈三分丈之一术乙丙自乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除实得甲乙逺三十三丈三分丈之一
　　通曰乙丙容方径也戊已余勾也甲乙余股也
　　又式欲测甲乙之逺立丙乙表髙十尺目従戊过丙视甲作直线目去表末为戊巳三寸人离表为己丙十尺问逺几何曰三十三丈三分丈之一术以人离表一百寸乗表髙一百寸得一万寸为实以目去表三寸为法除实得逺此与右法同但彼用四
　　表此用一表为防耳丙乙容方径也戊巳余勾也甲乙余股也
　　余勾余股求容方法
　　式丙丁余勾三十甲戊余股七百五十问丁乙容方径几何曰一百五十术余勾余股相乗得二万二千五百为容方积开平方得一百五
　　十为丁乙径
　　又式邑不知大小四中开门北门外三十步有木出西门七百五十步见木问邑方防何曰三百步术通曰北门外为余勾西门外为余股半邑方为容方径也
　　两余勾与股求容方法
　　式丙丁余勾二十戊乙余勾十四甲乙股一千七百七十五问丁戊容方径几何曰二百五十术以丙丁余勾乗股得三万五千五百倍之得七万一千为实并二余勾得三十四为从方开之横
　　得二百八十四为乙丙勾直得二百五十为丁戊容方径
　　又式邑方不知大小边东开门北门外二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步斜见木问邑方几何曰二百五十步术通曰北门外二十步一余勾也南门外十四步一余勾也西行股也邑方容方径也
　　小勾股与大勾求大股法
　　式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五问甲乙大股防何曰一千二百五十术以大勾为实以小勾为法除实得大
　　股
　　通曰小股一百此法极便如二百三百者先以小股乗大勾为实用异乗同除法也【见九章外法】
　　测高式塔不知髙量其影従塔心至影末长三丈一尺二寸五分别立一表髙一丈影长二尺五寸问塔髙防何曰十二丈五尺术通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股
　　又式八尺之表以测日影表去日下六万里表影长六尺问日髙几何曰八万里术通曰六万里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一亿八百万尺表八尺小股也表影六尺小勾也日髙八万里大股也用异乗同除法【即三累法】以小股乗大勾为实以小勾为法除之或以大勾为实以小股除小勾得每尺影七寸五分为法除实皆得日髙也
　　又式欲测甲乙之髙以平镜依地平线置丙人依地平线立丁目在戊见甲在镜中心丙处丙至乙十尺丙至丁二尺目髙四尺问甲乙髙几何曰二丈术通曰乙丙大勾也丙丁小
　　勾也戊丁小股也
　　测广式日逺人十万里不知日径以径寸长八尺竹筒对日于竹筒视之空正掩日问曰径几何曰一千二百五十里术通曰日逺人大勾也径寸小勾也筒长八尺小股也
　　测逺式欲测甲乙之逺立一丙两表从丙斜退至丁目望丁丙甲成一直线乃作丙丁戊直角以此测之术通
　　曰丁角与乙角等直角也
　　乙丙线与丁戊线相遇于
　　戊故以丙丁小勾比乙丙
　　大勾戊丁小股比甲乙大股也
　　两余勾两破股小股求大勾大股法
　　式戊已丁丙两余勾各十二【相等】丙庚小破股六十己辛
　　火破股一百己丙小股八十问甲乙
　　勾几何乙丙股几何曰大勾三十六
　　大股一百二十术通曰以小股八十
　　乗余勾十二得九百六十为勾实以
　　小股八十乗小破股六十得四千八百为股实小破股六十与大破股一百相减余四十为法以法除勾实得二十四加余勾十二得三十六为大勾以法除股实得一百二十为大股
　　测髙逺式欲测甲乙之髙乙丙之逺用重表法先立丁丙表髙十尺却后立于戊去丙五尺目在己已戊髙四尺视表末丁与甲为直线次从前表丙却后十五尺立癸壬表亦髙十
　　尺【两表等】又却后立于子去壬八尺目在丑丑子亦髙四尺【两目等】从目视癸甲亦直线问甲乙髙几何乙丙逺几何曰髙四十尺逺二十五丈术以表髙十尺减目髙四尺余六尺即丁寅【癸辛等】与两表相去之壬丙十五尺相乗得九十尺为髙实以两次人去表之己寅丑辛相减余卯辛三尺为法除髙实得甲辰三十尺加表髙十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺与两表相去之壬丙十五尺相乗得七十五尺为逺实以法三尺除之得乙丙逺二十五尺
　　通曰丁丙癸壬两余勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也髙大勾也逺大股也
　　测深广式有甲乙丙丁壁立深谷欲测甲乙之广乙丙之深用重矩法先立辛甲表与甲丁参直又立癸己表两表甲巳相去六尺从辛甲表视己丙作直线截表于庚庚甲髙五尺又従辛甲表视辛癸丙作直线两表相较得辛壬髙八尺壬甲髙一丈五尺问深广各几何曰乙丙深二
　　十五尺甲乙广三十尺术以小表一丈五尺乗两表相去甲己六尺得九十尺为广实庚甲与辛壬相减余辛子三尺为法除广实得甲乙广三十尺以小表一丈五尺乗庚甲五尺得七十五尺为深实以法三尺除之得乙丙深二十五尺
　　通曰甲巳癸壬两余勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也广大勾也深大股也
　　测髙逺式树二表各髙八尺南北相去二千里以测日影夏至之日南表影长六尺北表影差二寸问曰髙逺各几何曰髙八万里日下去南表六万里南表之端斜至日十万里术
　　二表两余勾也北表影南表影两破股也南北相去小股也日下去南表大股也日髙大勾也斜至曰也
　　测勾破勾两测股求大勾大股法
　　式丙丁测勾四十三二丙巳破勾十丙戊小测股十四
　　八丙壬大测股六十四八问大勾大
　　股各几何曰甲乙大勾二千五百乙
　　丙大股三千六百八十五二术通曰以测勾四十三二减破勾十余三十三二乗小测股十四八得四千九百一十三六为勾实以大测股六十四八乗破勾十得六千四百八十以测勾四十三二除之得十五为景差又以大测股六十四八减景差十五余四十九八以小测股十四八乗之得七千三百七十○四为股实以小测股减景差余二为法以法除勾实得二千四百五十六八加测勾四十三二得二千五百为大勾以法除股实得三千六百八十五二为大股
　　测广逺式方城不知大小立两表东西相去四十三步
　　二分齐人目处以索连之令东表与
　　城东南隅东北隅参直従东表退北
　　行去表十四步八分遥望城西北隅入索东端十步若从东表退北行去表六十四步八分遥望城西北隅适与西表相参合问城方防何城去表几何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分术以两表相去减入索余三十三步二分以乗东表退行十四步八分得四千九百一十三步六分为广实以东表大退行六十四步八分乗入索十步得六千四百八十步以两表相去四十三步二分除之得一十五步为景差又以大退行六十四步八分减景差十五步余四十九步八分以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分为逺实以退行十四步八分减景差十五步余二分为法以法除广实得二千四百五十六步八分加两表相去四十三步二分得二千五百步为城方【西至束】以法除逺实得三千六百八十五步二分为城去表也
　　通曰城方大勾也城去表大股也两表相去测勾也入索破勾也小退行小测股也大退行大测股也
　　四余勾两破股小股破勾求上勾下勾大股法
　　式戊丁壬癸两大余勾皆一百五十庚辛子丑两小余勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百问上勾下勾大股
　　各防何曰甲乙上勾二百八十乙丙
　　下勾三百一十丙丁大股六千术通
　　曰以小股四千乗破勾五十六得二
　　十二万四千为上勾实以大余勾一
　　百五十减小余勾四十及破勾五十六余五十四乗小股四千得二十一万六千为下勾实以小破股一千五百与大破股二千五百相减余一千为法以法除上勾实得二百二十四加破勾五十六得二百八十为甲乙上勾以法除下勾实得二百一十六加大余勾一百五十得三百六十六减破勾五十六得三百一十为乙丙下勾又以大余勾减小余勾余一百一十乗小股得四万四千为大勾实以法除之得四百四十加大余勾得五百九十为甲丙大勾以小股乗小破股得六百万为大股实以法除之得六千为丙丁大股
　　通曰此测两髙与逺也与前两余勾两破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳两大余勾两表也两小余勾两人目至足也勾髙也股逺也
　　两测股两破勾测勾求大勾法
　　式丙丁测勾九百丙戊小测股六百丙庚大测股一千
　　三百五十己丙大破勾四百零二
　　辛丙小破勾一百二十问大勾防
　　何曰甲乙大勾三万术通曰以大
　　测股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四万二千七百以测勾九百除之得六百零三为景差以与小测股六百相减余三为法以小测股与大测股相减余七百五十又乗小破勾一百二十得九万为实以法除实得三万为甲乙大勾
　　通曰此测广也与前测勾破勾两测股求大勾大股法相同但多乙戊直线耳丙丁两表也戊庚两目望也勾广也
　　勾股互求髙深广逺图説

　　通曰直为髙深横为广逺勾可以为股股可以为勾以小知大以此知彼惟善测者善用之耳甲乙为股则乙丙为勾酉丙为股则甲酉为勾午丙为股则午庚为勾庚丑为股则丙丑为勾如求甲乙之髙金水作表丙作目求丑丙之逺木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之广日月作两表丙丁为目斜望用异乗同除三率之法髙深广逺虽分而合矣
　　附法
　　用矩尺测两广法
　　式登山临邑邑在山南不知广縦偃矩山上勾髙三尺
　　五寸与邑东南隅东北隅
　　参合从勾端望东北隅入
　　下股一丈二尺随于入股
　　处横设一矩从勾端望西
　　北隅入横股五尺若望东
　　南隅入下股一丈八尺又重设矩于上相去四丈从勾端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广纵几何曰东西广二万寸南北广二万四千寸术以勾髙戊子三十五寸乗东南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸与勾髙戊子三十五寸相减余一寸为法以东南隅入下股庚子一百八十寸与东北隅入下股己子一百二十寸相减余六十寸以乗两矩相去丑子四百寸得二万四千寸为南北实以法除之得南北广以西北隅入横股辛已五十寸乗两矩相去丑子四百寸得二万寸为东西实以法除之得东西广
　　用矩尺测逺法
　　式欲测甲乙之逺先于甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊对乙成丁戊乙直线问甲乙逺几何曰八尺术须视矩丙对何处今对巳为丁丙己直线乃量己甲二尺为法表髙四尺自乗得十六尺为
　　实以除之得八尺为逺
　　用交表测逺法
　　式欲测乙戊之逺先立甲乙表后于庚斜加小表为丙丁以丁对戊为度成庚丁戊直线问乙戊逺几何曰八尺术须丙丁小表族转又于丁对
　　处已成庚丁已直线自乙至巳得八尺必与乙戊等
　　用表测斜髙法
　　式欲测甲至丙从丁视甲丙作直线丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺问甲丙斜髙几何曰十五尺术以丁乙八尺为法以丁甲十尺与乙戊十二尺相乗得一百二十为实以法除之得十五尺为甲
　　至丙也
　　器测【勾股之八】
　　矩度
　　甲丁与甲乙等甲丙斜分乙
　　丙为直景丁丙为倒景以甲
　　乙相对测际眼穿戊己两耳
　　与其际作直线视权线垂何
　　景何度也今止分十二度若
　　细分更精其两景别有论解
　　测髙法
　　权线垂丙式髙如己庚景在地平上为庚辛以矩度测之甲对己两耳与辛巳作直线权线垂丙为髙防何术凡权线垂丙者景与髙必等也今辛庚四十五尺则己庚亦四十五尺
　　权线垂直景边式髙如己庚景如庚辛权线垂乙丙边之戊乙戊八度庚辛景三十为髙防何术以表度十二与庚辛三十相乗得三百六
　　十为实以乙戊八度为法除之得四十五为己庚之髙权线垂倒景邉式髙如己庚庚辛景六十七五权线垂丁丙边之壬丁壬八度为髙防何术以庚辛与丁壬相乗得五百四十为实以表度
　　十二为法除之得四十五为己庚之髙
　　通曰髙大于景权线必垂直景边髙小于景权线必垂倒景边
　　测逺法
　　权线垂丙式髙如己庚景如庚辛权线垂丙为景防何
　　术己庚四十五则辛庚亦四十五
　　通曰景测髙以甲对髙髙测景以乙对景景逺也
　　权线垂直景邉式己庚髙四十五权线垂戊八度为庚辛景几何术以己庚与乙戊相乗得三百六十为实以表度十二为法除之得三十为庚
　　辛景
　　权线垂倒景邉式己庚髙四十五权线垂壬八度为庚辛景防何术以表度十二与己庚相乗得五百四十为实以丁壬八度为法除之得六十七五为庚辛景
　　以目测髙法
　　于矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿两耳向测处作直线为度也
　　权线垂丙式髙如己庚表如乙辛髙四尺表端人目从矩度乙甲视巳为直线权线垂丙为髙几何术乙壬四十五卽巳壬加表髙四尺得四
　　十九为己庚之髙
　　权线垂直景边式庚辛三十权线垂戊八度为己庚髙几何术以表度十二乗庚辛得三百六十为实以乙戊八度为法除之得己壬四十
　　五加表髙四得四十九为己庚之髙
　　权线垂倒景边式庚辛六十七五权线垂壬八度为己庚髙防何术以庚辛乗丁壬八度得五百四十为实以表度十二为法除之得己癸四十五加表髙四得四十九为己庚之髙
　　通曰地平线上任意前后至权线直丙而止较便
　　以目测逺法
　　权线垂丙式逺如己庚表如甲巳目在甲权线垂丙为逺几何术表髙甲巳四尺则己庚亦逺四尺也
　　权线垂直景边式甲已表髙四尺权线垂戊九度为己庚逺防何术以乙戊九度乗表髙四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺
　　即己庚之逺
　　权线垂倒景边式甲巳表髙四尺权线垂壬八度为己庚逺防何术以表度十二乗表髙四得四十八为实以丁壬八度为法除之得六尺即己庚之逺
　　通曰测髙目在矩之乙测逺目在矩之甲
　　以目测深法
　　权线垂丙式深如己壬目在甲视甲乙己辛为直线己庚口四尺权线垂丙为深几何术己壬与己庚等亦四尺也
　　通曰此不另用表而量己庚口者即口濶为表长是前用直表而此用横表也
　　权线垂直景边式己庚四尺权线垂戊六度为己壬深几何术以表度十二乗己庚四得四十八为实以乙戊六度为法除之得八尺即己
　　壬之深
　　权线垂倒景边式己庚四尺权线垂癸九度为己壬深几何术以丁癸九度乗己庚四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺即己壬之深
　　倒景变直景图说
　　通曰十二其十二得一百四十四以矩度为准也故一度变为一百四十四度以此一百四十四度为实以所值度为法除实即得变度也
　　度线皆起甲端渐移至丁
　　至乙各分十二也
　　通曰倒景过丙丁边抵丙
　　戊线则变为直景犹之直
　　景过乙丙边抵丙巳线则
　　变为倒景也倒景十一度
　　直景则为十三度一分倒
　　景十度直景则为十四度四分倒景九度直景则为十六度倒景八度直景则为十八度倒景七度直景则为二十度五分七厘倒景六度直景则为二十四度倒景五度直景则为二十八度八分倒景四度直景则为三十六度倒景三度直景则为四十八度倒景二度直景则为七十二度倒景一度直景则为一百四十四度也以直景推之亦然
　　重矩测髙法
　　通曰测髙而不知逺此求无股之勾也法皆用直景即权线在倒景边亦变为直景用之
　　皆直景式欲测己庚之髙先立乙辛表目在辛上乙权
　　线垂戊五度又立乙癸表目在癸上
　　乙权线垂子十度两表相去十尺表
　　髙四尺为髙防何术以两度相减余
　　五度为法以表度十二乗两表相去
　　十尺得一百二十为实以法除实得二十四尺即己至壬加表髙四尺得二十八尺为己庚之髙
　　通曰辛表为直景癸表或有倒景之时癸表为直景辛表无不直景矣
　　有倒景式欲测己庚之髙先立乙辛表权线垂戊十一度又立乙癸表权线垂子九度乃倒景也今变作直景为十六度两表相去二十尺表髙四尺为髙防何术以十六度减十一度余五度为法以表度十二乗两表相去
　　二十得二百四十为实以法除实得四十八尺即己至壬加表髙四尺得五十二尺为己庚之髙

　　数度衍卷七
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷八
　　桐城　方中通　撰
　　测圆【勾股之八】
　　李栾城测圆图
　　通曰圆于三隅之中
　　方于一圆之外规矩
　　井然而变化莫测故
　　规矩有定之方圆也
　　方圆无定之规矩也
　　名率
　　天地通六百八十　天干通股六百　干地通勾三百二十勾股和九百二十　勾股较二百八十　勾和一千　勾较三百六十　股和一千二百八十　股较八十　较和九百六十　较较四百　和和一千六百　和较二百四十
　　天川边五百四十四　天西边股四百八十　西川边勾二百五十六　勾股和七百三十六　勾股较二百二十四　勾和八百　勾较二百八十八股和一千○二十四　股较六百四十　
　　较和七百六十八　较较三百二十　和和一千二百八十　和较一百九十二
　　天山黄广五百一十　天金黄广股四百五十　金山黄广勾二百四十　勾股和六百九十　勾股较二百一十　勾和七百五十　勾较二百七十股和九百六十　股较六十　较和七百
　　二十　较较三百　和和一千二百　和较一　百八十
　　天月大差四百○八　天坤大差股三百六十　坤月大差勾一百九十二　勾股和五百五十二　勾股较一百六十八　勾和六百　勾较二百一十六　股和七百六十八　股较四十八　较和五百七十六　较较二百四十　和和九百六十　和较一百四十四
　　天日上髙二百五十五　天旦上髙股二百二十五旦日上髙勾一百二十　勾股和三百四十五
　　勾股较一百○五　勾和三百七十五　勾较一百三十五　股和四百八十　股较三十较和三百六十　较较一百五十　和和六百　和较九十
　　日地底四百二十五　日北底股三百七十五　北地底勾二百　勾股和五百七十五　勾股较一百七十五　勾和六百二十五　勾较二百二十五　股和八百　股较五十　较和六百较较二百五十　和和一千　和较一百五十
　　日川皇极二百八十九　日心皇极股二百五十五心川皇极勾一百三十六　勾股和三百九十一勾股较一百一十九　勾和四百二十五　勾
　　较一百五十三　股和五百四十四　股较三十四　较和四百○八　较较一百七十和和六百八十　和较一百○二
　　日山下髙　日朱下髙股　朱山下髙勾
　　通曰与上髙率同
　　日月明一百五十三　日南明股一百三十五　南月明勾七十二　勾股和二百○七　勾股较六十三　勾和二百二十五　勾较八十一　股和二百八十八　股较一十八　较和二百一十六　较较九十　和和三百六十　和较五十四
　　月地黄长二百七十二　月泉黄长股二百四十泉地黄长勾一百二十八　勾股和三百六十八勾股较一百一十二　勾和四百　勾较一百四十四　股和五百一十二　股较三十二较和三百八十四　较较一百六十　和和六百四十　和较九十六
　　月川上平一百三十六　月青上平股一百二十青川上平勾六十四　勾股和一百八十四　勾股较五十六　勾和二百　勾较七十二　股和二百五十六　股较一十六　较和一百九十二　较较八十　和和三百二十　和较四十八
　　月山太虚一百○二　月泛太虚股九十　泛山太虚勾四十八　勾股和一百三十八　勾股较四十二　勾和一百五十　勾较五十四　股和一百九十二　股较一十二　较和一百四十四　较较六十　和和二百四十　和较三十六
　　山地小差一百七十　山艮小差股一百五十　艮地小差勾八十　勾股和二百三十　勾股较七十勾和二百五十　勾较九十　股和三百
　　二十　股较二十　较和二百四十　较较一百　和和四百　和较六十
　　山川軎三十四　山东軎股三十　东川軎勾一十六　勾股和四十六　勾股较一十四　勾和五十　勾较一十八　股和六十四　股较四较和四十八　弦较较二十　和和八十
　　和较一十二
　　川地下平　川夕下平股　夕地下平勾
　　通曰与上平率同
　　诸式
　　勾上容圆式【勾当圆径之中】西川边勾二百五十六天西边股四百八十求圆径术勾股相乘得十二万二千八百八十倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求得五百四十四以并股得一千○二十四为法除实得二百四十为圆径　勾求圆
　　股求圆可以例推
　　股上容圆式【股当圆径之中】北地底勾二百日北底股三百七十五求圆径术勾股相乗得七万五千倍之得十五万为实勾股求得四百二十五以并勾得六百二十五为法除实得径　勾求圆
　　股求圆可以例推
　　上容圆式【当圆径之中】坤干等黄长股二百四十干艮等黄广勾二百四十求圆径术勾股相乗得五千七百六十倍之得一万一千五百二十为实勾股和得四百八十为法除实得径　坤艮
　　大图无
　　勾外容圆式【圆在勾外】坤月大差勾一百九十二天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乗得六万九千一百二十倍之得十三万八千二百
　　四十为实勾股求得四百○八以并勾股较一百六十八得较和五百七十六为法除实得径即较较二百四十也
　　股外容圆式【圆在股外】艮地小差勾八十山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗倍之得二万四千为实勾股求减勾股较得较较一百为法除实得径即较和二百四十也以加勾股
　　较亦得较和
　　外容圆式【圆在外】巽月等太虚勾四十八巽山等太虚股九十求圆径术勾股相乗倍之得八千六百四十为实勾股求减勾股和余
　　和较三十六为法除实得径即和和也以加勾股和亦得和和
　　勾股上容圆式【勾股角在圆心】心川皇极勾一百三十六日心皇极股二百五十五求圆径术勾股相乗倍之得六万九千三百六十为实勾股求
　　得二百八十九为法除实得径
　　勾外容半圆式南月明勾七十二日南明股一百三十五求圆径术勾股相乗倍之得一万九千四百四十为实勾股求与勾相减余勾
　　较八十一为法除实得径若不倍为实即除得一百二十为半径
　　股外容半圆式东川軎勾十六山东軎股三十求圆径术勾股相乗得四百八十为实勾股求与股相减余股较四为法除实得半径
　　倍得全径
　　两勾中夹容圆式干地通勾三百二十坤月大差勾一百九十二求圆径术二勾乗得六万一千四百四十为实二勾相并折半得二百五
　　十六为法除实得径
　　两股夹容圆式天干通股六百山艮小差股一百五十求圆径术二股乗得九万为实二股相并折半得三百七十五为法除实得径
　　大勾小勾容圆式干地通勾三百二十南月明勾七十二求圆径术二勾乗得二万三千○四十为实以明勾七十二为従方开之【详少广】得
　　半径倍得全径
　　大股小股容圆式天干通股六百山东軎股三十求圆径术二股乗得一万八千为实以軎股三十为从方开之得半径
　　大勾小余勾容圆式干地通勾三百二十东川軎勾十六求圆径术倍軎勾减通勾余二百八十八以乗通勾得九万二千一百六十为实
　　四因通勾得一千二百八十与两軎勾三十二相减余一千二百四十八为从方四为隅法用负隅减从开平方法除之【详少广】得半径
　　大股小余股容圆式天干通股六百日南明股一百三十五求圆径术倍明股减通股余三百三十以乗通股得十九万八千为实三因通股得一千八百与两明股二百七十相减余一千五百
　　三十为从方作带从开平方法除之【详少广】得半径大勾中勾容圆式干地通勾三百二十西川边勾二百五十六求圆径术倍边勾减通勾余一百九十二乗通勾得六万一千四百四十为
　　实以边勾为法除得径
　　大股中股容圆式天干通股六百白北底股三百七十五求圆径术倍底股减通股余一百五十乗通股得九万为实以底股为法除得径
　　两半勾容圆式南月明勾七十二北地底勾二百求圆径术二勾乗得一万四千四百为实即半径幂平方开之得半径
　　两半股容圆式山东軎股三十天西边股四百八十求圆径术二股乗得一万四千四百为实平方开之得半径
　　【小】勾半勾容圆式坤月大差勾一百九十二北地底勾二百求圆径术二勾乗得三万八千四百为实以底勾二百为从方作带从开平方
　　法除之得半径
　　小股半股容圆式天西边股四百八十山艮小差股一百五十求圆径术二股乗得七万二千为实以边股四
　　百八十为从方开之得半径

　　半勾余勾容圆式东川軎勾十六北地底勾二百求圆径术軎勾自乗得二百五十六为軎勾幂二勾相减余一百八十四为二勾较又自
　　乗得三万三千八百五十六为较幂与軎勾幂相减余三万三千六百为实倍底勾得四百为从方作减从开平方法除之【详少广】得半径
　　半股余股容圆式天西边股四百八十日南明股一百三十五求圆径术二股相减余三百四十五自乗得十一万九千○二十五为较幂
　　明股自乗得一万八千二百二十五为明股幂二幂相减余一十万○八百为实倍边股得九百六十为益从作减从开平方法除之【益从者长濶和也详少广】得半径
　　又半勾余勾容圆式东川軎勾十六南月明勾七十二求圆径术二勾相减余自之得三千一百三十六軎勾自之得二百五十六相减余
　　二千八百八十为实倍明勾得一百四十四为益从作减从翻法开平方法除得半径
　　又半股余股容圆式山东軎股三十日南明股一百三十五求圆径术二股相减余自之得一万一千○二十五明股自之得一万八千二
　　百二十五相减余七千二百为平实倍軎股得六十为从方作以从减隅开平方法除得半径或作添积従开平方法亦可【详少广】
　　错互求容圆式天川边五百四十四日地底四百二十五求圆径术二相减余一百一十九自之得一万四千一百六十一底自之得十八万○六百二十五相减余十六万六千四
　　百六十四为平实倍边得一千○八十八为从方作带従开平方法除得平一百三十六即皇极勾以减底余二百八十九即皇极以皇极勾求出皇极股二百五十五与皇极勾相乗得三万四千六百八十以皇极为法除之得半径
　　又式天山黄广五百一十月地黄长二百七十二求圆径术并二半之自乗得十五万二千八百八十一半黄广自之半黄长自之相并得八万三千五百二十一与十五万二千八
　　百八十一相减余六万九千三百六十为平实并二得七百八十二为益従作减従开平方法除得一百○二即太虚以减黄广余为皇极较和以太虚减黄长余为皇极较较又以黄长减皇极较和余一百三十六为皇极勾半黄广为黄极股以皇极勾股求通圆径【即前勾股上容圆式】
　　两容圆式日月明一百五十三山川軎三十四求圆径术二相乗倍之得一万○四百○四为实平方开之得一百○二即太虚
　　加軎为皇极勾加明为皇极股以皇极勾股求通圆径
　　全勾半股容圆式干地通勾三百二十天西边股四百八十求圆径术勾股相乗倍之得三十万○七千二百为实倍边股并通勾得一千
　　二百八十为法除得径
　　全股半勾容圆式天干通股六百北地底勾二百求圆径术勾股相乗倍之得二十四万为实倍底勾并通股得一千为法除得径
　　大勾余股容圆式干地通勾三百二十天坤大差股三百六十求圆径术勾股乗得十一万五千二百为实倍大差股得七百二十为从作
　　减从开平方法除得径又术勾股相乗倍之为实倍大差股为从作带从开平方法除得径
　　大股余勾容圆式天干通股六百艮地小差勾八十求圆径术勾股相乗倍之得九万六千为实倍小差勾得一百六十为从又带从开平方法除得径

　　又大勾余股容圆式干地通勾三百二十日南明股一百三十五求圆径术通勾自之乗明股得一千三百八十二万四千为立实倍明股
　　乗通勾得八万六千四百为从方二为隅法作带从负隅开立方法【详少广】除得半径
　　又式干地通勾三百二十山东軎股三十求圆径术勾股乗得九千六百为实以通勾为从方二为隅算作减
　　从负隅翻法开平方法除得半径

　　又大股余勾容圆式天干通股六百东川軎勾十六求圆径术通股自之乗軎勾得五百七十六万为立实倍軎勾乗通股得一万九千二
　　百为从方二为隅法作带从负隅开立方法除得半径又式天干通股六百南月明勾七十二求圆径术勾股乗得三千二百为实以通股为从方二为隅法作带从负隅开平方法除得半径
　　半勾半股容圆式天西边股四百八十北地底勾二百求圆径术勾股乗得九万六千为实勾股并得六百八十为从方二为隅算作负隅
　　减从开平方法除得半径
　　截勾截股容圆式坤西等上平股一百二十北艮等下髙勾一百二十求圆径术勾股乗得一万四千四百为实平方开之得半径
　　通曰此与前上容圆式坤艮之必穿圆心乃可测算
　　半勾外股容圆式天坤大差股三百六十北地底勾二百求圆径术勾股相乗倍之得十四万四千为实以大差股为从方作带从开平方
　　法除得径
　　半股外勾容圆式艮地小差勾八十天西边股四百八十求圆径术勾股相乗倍之得七万六千八百为实以小差勾为从方作带从开平
　　方法除得径
　　余勾半股余股半勾容圆式西外八步外行四百九十五步北外十五步外行二百○八步求圆径术以西外八并北外行二百○八得二百一十六为两勾和西外行四百
　　九十五并北外十五得五百一十为两股和以西外行乗两勾和得十万○六千九百二十为股乗勾幂以西外乗两股和得四千○八十为勾乗股幂两幂相减余十万○二千八百四十为勾股维乗差自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乗方实西外行四百九十五内减去两回西外共十六余四百七十九与北外行二百○八相减余二百七十一为股减勾差北外行二百○八内减去两回北外共三十余一百七十八与西外行四百九十五相减余三百一十七为勾减股差二差相减余四十六以乗勾股维乗差得四百七十三万○六百四十为従方二差相乗得八万五千九百○七为二差幂两勾和与两股和相乗得十一万○一百六十为二和幂倍二和幂得二十二万○三百二十倍勾股维乗差得二十万○五千六百八十以并二差幂得五十一万一千九百○七为従一亷四回两勾和共八百六十四两回股减勾差共五百四十二相并得一千四百○六为从二亷作带从方亷开三乗方法【详少广】即得半径
　　半勾余股容圆式日南明股一百三十五北地底勾二百求圆径术底勾自乗又乗明股得五百四十万又四因得二千一百六十万为立
　　方实以明股为従亷作带从亷立方开之得径【详少广】半股余勾容圆式东川軎勾十六天西边股四百八十求圆径术边股自乗又乗軎勾得三百六十八万六千四百又四因得一千四百七十四万五千六百为立实以軎勾为从亷作带从亷立
　　方开之得径
　　半勾小股容圆式北地底勾二百山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗又乗小差股得四百五十万为实勾股相减余五十又乗小
　　差股得七千五百加勾股相乗得三万七千五百为法除实得半径又术勾股相乗为实倍底勾减小差股余为法除实得半径
　　又式北地底勾二百山东軎股三十求圆径术勾股乗得六千为平实勾股减余一百七十为従方作减従翻法开平方法得半径
　　半股小勾容圆式天西边股四百八十坤月大差勾一百九十二求圆径术勾股相乗又乗大差勾得一千七百六十九万四千七百二十
　　为实勾股减余二百八十八又乗大差勾得五万五千二百九十六加勾股相乗得十四万七千四百五十六为法除得半径　前式又术亦可用
　　又式天西边股四百八十南月明勾七十二求圆径术勾股乗得三万四千五百六十为实勾股减余四百○八为从方作减従开平方法
　　得半径
　　小勾小股容圆式坤月大差勾一百九十二山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗倍之得五万七千六百平方开之得径
　　又式南月明勾七十二山东軎股三十求圆径术勾股乗得二千一百六十为实勾股并得一百○二为从作
　　以従减法翻法开平方法得半径

　　外勾外股容圆式艮地小差勾八十天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乗倍之得五万七千六百平方开之得径
　　又式东川軎勾十六日南明股一百三十五求圆径术勾股相乗又自乗得四百六十六万五千六百为三乗方实勾股相乗倍之得四千
　　三百二十又乗勾股相并得六十五万二千三百二十为从方勾股相并自之得二万二千八百○一勾股相减余自之得一万四千一百六十一两自之之数相减余八千六百四十为益亷作带従亷添积开三乗方法除之【详少广】得半径
　　大勾半容圆式干地通勾三百二十日地底四百二十五求圆径术勾相减余一百○五为勾差以乗通勾得三万三千六百又
　　乗半通勾一百六十得五百三十七万六千为立实半通勾乗通勾得五万一千二百与差乗通勾三万三千六百相减余一万七千六百为従方倍通勾得六百四十为益亷作带従减益亷开立方法除之【详少广】得半径又式干地通勾三百二十月地黄长二百七十二求圆径术勾相减余四十八为勾差倍差倍通勾相乗得六万一千四百四十为
　　平实倍差倍通勾相并得七百三十六为益従二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得径又术倍差乗通勾为实差并通勾为从作减从开平方除之得径大股半容圆式天干通股六百天川边五百四十四求圆径术股相减余五十六为差以乗通股得三万三千六百又乗半通股得
　　一千○八万为立实半通股乗通股得十八万与差乗通股三万三千六百相并得二十一万三千六百为从方倍通股得一千二百为从亷作以从亷减从方翻法开立方法除之得半径　以従亷添积开立方亦可【详少广】
　　又式天干通股六百天山黄广五百一十求圆径术股相减余九十为差倍差倍通股相乗得二十一万六千为平实倍差倍通股相并得一千三百八十为从二为隅法作减从负隅翻法
　　开平方法除之得径又术同前
　　大勾外容圆式干地通勾三百二十山地小差一百七十求圆径术勾乗得五万四千四百通勾自之得十万○二千四百以相减余倍之得九万六千为实倍通勾得六百四十为从方
　　作减从开平方法除之得径
　　大股外容圆式天干通股六百天月大差四百○八求圆径术股乗得二十四万四千八百通股自之得三十六万以相减余倍之
　　得二十三万○四百为实倍通股得一千二百为従方作减从开平方法除得径义术股相乗通股自乗相减不必倍即以所余十一万五千二百为平实二为隅法作负隅开平方法亦可
　　大勾截容圆式干地通勾三百二十川地下平一百三十六求圆径术勾相减余一百八十四为差倍差减通勾余乗通勾得一万五
　　千三百六十为平实又倍差得三百六十八为从方二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得半径大股截容圆式天干通股六百天日上髙二百五十五求圆径术股相减余三百四十五为差倍差减通股余九十以乗通股得五
　　万四千为平实倍差为从方二为隅算作负隅减从开平方法除之得半径
　　大勾中容圆式干地通勾三百二十日川皇极二百八十九求圆径术勾乗得九万二千四百八十为勾乗幂又自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乗方实皇极自
　　之得八万三千五百二十一以乗通勾得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方倍勾乗幂得十八万四千九百六十为从一亷倍皇极得五百七十八为从二亷二为隅算作以亷隅减従开三乗方法除之【详少广】得皇极勾一百三十六以皇极勾求股得皇极股二百五十五勾股相乗倍之得六万九千三百六十为实以皇极为法除得径
　　又式干地通勾三百二十日山下髙二百五十五求圆径术勾相乗又乗半通勾得一千三百○五万六千为立方实勾相乗得八
　　万一千六百与半通勾乗通勾得五万一千二百相并得十三万二千八百为从方通勾三百二十为従亷作以亷减从开立方法【详少广】除得半径
　　大股中容圆式天干通股六百日川皇极二百八十九求圆径术股相乗又自之得三百亿○六千七百五十六万为三乗方实皇极自之为幂以乗通股又倍之得一亿○二十二万
　　五千二百为从方股相乗倍之得三十四万六千八百为从一亷倍得五百七十八为从二亷二为隅算作带从负隅以二亷隅添积开三乗方除之得皇极股二百五十五勾股相乗倍为实以皇极为法除得径又式天干通股六百月川上平一百三十六求圆径术股相乗又乗半通股得二千四百四十八万为立实半通股乗通股并通股与
　　平相乗八万一千六百得二十六万一千六百为従方通股六百为従亷以亷减从开立方除之得半径大勾小容圆式干地通勾三百二十月山太虚一百○二求圆径术通勾自之为幂倍太虚乗之得二千○八十八万九千六百为
　　立实倍太虚乗通勾又加倍通勾幂得二十七万○八十为従方四通勾得一千二百八十为従亷四为隅算作带从半翻法减从负隅开立方法除之【详少广】得半径又术通勾自之与太虚相乗半之为立实勾相乗加通勾自乗半之为从方通勾为从亷作以亷减従开立方法除之得半径
　　大股小容圆式天干通股六百月山太虚一百○二求圆径术通股自之乗太虚又倍之得七千三百四十四万为立实倍通股乗太虚得十二万二千四百通股自之又倍得七十二
　　万相并得八十四万二千四百为从方四通股得二千四百为从亷四为隅算作带从负隅以亷减从开立方法除之得半径　用添积亦可
　　又大勾小容圆式干地通勾三百二十山川軎三十四求圆径术通勾自之为幂又乗通勾得三千二百七十六万八千与倍軎乗
　　通勾幂得六百九十六万三千二百相减余二千五百八十万○四千八百为立实軎乗通勾得一万○八百八十倍通勾幂得二十万○四千八百相减余十九万三千九百二十为従方通勾加半通勾得四百八十为从亷半数为隅算作带従以亷添积开立方法除之得径　以亷减従亦可
　　又大股小容圆式天干通股六百日月明一百五十三求圆径术通股自之为幂又乗通股得二亿一千六百万与倍明乗通股幂
　　得一亿一千○一十六万相减余一亿○五百八十四万为立实倍通股幂得七十二万倍明乗通股得十八万三千六百相减余五十三万六千四百为从方六通股得三千六百为从亷六为隅算作负隅减从以亷益从开立方法除之得半径　以隅添积亦可
　　又大勾小容圆式干地通勾三百二十日月明一百五十三求圆径术通勾自之为幂勾相乗为勾乗幂二幂相乗得五十亿○
　　一千三百五十万○四千为三乗方实明乗通勾幂又三之得四千七百万○一千六百为从方倍勾乗幂与通勾幂相减余四千四百八十为从一亷倍通勾得六百四十为从二亷二为隅法作带从负隅以二亷减从开三乗方法除之【详少广】得半径
　　又大股小容圆式天干通股六百山川軎三十四求圆径术股相乗又乗通股幂得七十三亿四千四百万为三乗方实軎乗通股幂又三之得三千六百七十二万为从方倍股相
　　乗减通股幂余三十一万九千二百为从一亷倍通股为从二亷二为隅算作带従方亷负隅以二亷减从开三乗方法除之得半径
　　大半勾容圆式天地通六百八十北地底勾二百求圆径术勾减余四百八十为差勾并得八百八十为和差和相乗得四十二
　　万二千四百与差自乗二十三万○四百相减余十九万二千为实差和并得一千三百六十为从二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
　　大半股容圆式天地通六百八十天西边股四百八十求圆径术股减余二百为差股并得一千一百六十为和差和相乗得二
　　十三万二千与差自乗四万相减余十九万二千为实差和相并得一千三百六十为从方二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
　　半半勾容圆式月地黄长二百七十二北地底勾二百求圆径术勾减余七十二为差乗底勾得一万四千四百为半径幂四之为
　　全径幂平方开得径
　　半半股容圆式天山黄广五百一十天西边股四百八十求圆径术股减余三十为差乗边股得一万四千四百平方开之得半径
　　外半勾容圆式山地小差一百七十北地底勾二百求圆径术勾减余三十为差乗底勾得六千为实小差为従作减从翻法开平
　　方法除得半径
　　外半股容圆式天月大差四百○八天西边股四百八十求圆径术股减余乗边股得三万四千五百六十为实大差为従作减
　　从开平方法除得半径
　　截半勾容圆式川地下平一百三十六北地底勾二百求圆径术倍勾相减余一百二十八减底勾余七十二又乗底勾得一万四
　　千四百平方开之得半径又术倍平减底勾余七十二乗底勾亦同
　　截半股容圆式天日上髙二百五十五天西边股四百八十求圆径术倍髙减边股余三十乗边股得半径幂平方开得半径又术
　　股减余自之得上髙股幂髙自之得幂二幂相减开其余为上髙勾即半径
　　小半勾容圆式山川軎三十四北地底勾二百求圆径术底勾内减二軎余一百三十二乗底勾得二万六千四百又以軎幂二
　　千一百五十六乗得三千○五十一万八千四百为三乗方实倍底勾乗軎幂得四十六万二千四百为从方勾相减差自之得二万七千五百五十六为従一亷勾相减差倍之得三百三十二为从二亷作带从方亷以二亷减从开三乗方法除之得軎股三十以軎股求勾以軎勾股求径【即前股外容半圆也】
　　小半股容圆式日月明一百五十三天西边股四百八十求圆径术边股内减二明余一百七十四乗边股得八万三千五百二十
　　又以明幂二万三千四百○九乗得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十为三乗方实明幂乗边股又倍之得二千二百四十七万二千六百四十为従方股减余自之得十万○六千九百二十九为从一亷股减余倍之得六百五十四为从二亷作带方亷以二亷减从开三乗方法除之得明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】
　　又小半勾容圆式日山下髙二百五十五北地底勾二百求圆径术底勾自之为幂乗髙得一千○二十万为立实底勾幂为从方髙为従亷作带从方亷
　　开立方法除得半径

　　又小半股容圆式月川上平一百三十六天西边股四百八十求圆径术边股自之为幂乗平得三千一百三十三万四千四百为
　　立实边股幂为从方平为从亷作带従方亷开立方法除得半径
　　通曰右式与上髙同此式与下平同
　　又小半勾容圆式日月明一百五十三北地底勾二百求圆径术半底勾乗明得一万五千三百为平实勾相并半之得一百七十六为从方半为隅算作带従负隅开平方法除之得
　　明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】又小半股容圆式山川軎三十四天西边股四百八十求圆径术半軎乗边股得八千一百六十为实股并半之得二百五十七
　　为从方半为隅法作带従负隅开平方法除之得軎股乗边股得半径幂
　　半小勾容圆式月地黄长二百七十二坤月大差勾一百九十二求圆径术倍大差勾与黄长相减余一百一十二为差自之得一万二千五百四十四与黄长幂相减余六万一千四
　　百四十为实四差得四百四十八为从八为益隅作以带从减隅开平方法除得半径
　　半小股容圆式天山黄广五百一十山艮小差股一百五十求圆径术倍小差股与黄广相减得差二百一十自之得四万四千一百与黄广幂相减余二十一万六千为实四差得八
　　百四十为从八为隅作以隅减从开平方法除得半径小截勾容圆式月川上平一百三十六南月明勾七十二求圆径术勾相减差自之得四千○九十六与上平幂相减余一万四
　　千四百即半径幂半径即平股也
　　小截股容圆式日山下髙二百五十五山东軎股三十求圆径术股减余自之得五万○六百二十五为髙股幂又与髙幂相减余一万四千四百即半径幂半径即髙勾也
　　又小截勾容圆式月山太虚一百○二南月明勾七十二求圆径术勾减余倍之乗明勾得四千三百二十为实又倍实得八千六百四十与太虚幂相减余一千七百六十四平方开
　　之得四十二为太虚勾股较以较为从开其实得四十八为太虚勾加较为股并为和和即径
　　又小截股容圆式月山太虚一百○二山东軎股三十求圆径术股相减余乗軎股又四之得八千六百四十与太虚幂相并得
　　一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加太虚即径二百四十

　　数度衍卷八
　　钦定四库全书
　　数度衍卷九
　　桐城　方中通　撰
　　方圆【少】广【之一】
　　诸率
　　通曰求积者用径一围三度天者用径七周二十二然径一则围三有余径七则周二十二不足今测以径十七周五十二其率较细大约四形之率惟方率
　　无差他皆无凖方斜七而强角面七而弱圆率从难推求惟举成数而已
　　通曰方形剖周为四面面与中径等四面即四径也圆以三为率径求周以径乘率周求径以率除周方以四为率径求周以径乘率周求径以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘并之为五十开方则七有零七自之惟四十九较五十之开方则少一数矣今
　　方斜以五七为率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之
　　通曰此亦勾股也中径为股半
　　面为勾各自乘并为四十八二五
　　开方则七不足矣今三角以六七
　　为率面求径以径六乘面以面七
　　除之径求面以面七乘径以径六
　　除之
　　方内容圆圆内容方率説

　　通曰数始于一圆径一则周三方径一则周四两周相乘得十二故方圆相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圆周七丙丁圆周必五甲乙方圆径七丙丁方圆径必五七五并为十二故曰皆十二也推而求之万

　　重皆然此方圆之分率也径同则圆周圆积皆不及方周同则方径方积皆不及圆积同则圆周不及方周方径不及圆径何也径同以一言之圆径一周三方径一周四圆周不及方周四分之一矣又以三言之圆径三积七方径三积九圆积不及方积九分之二矣周同以十二言之方周十二积九圆周十二积十二方积不及圆积十二分之三矣又方周十二径三圆周十二径四方径不及圆径四分之一矣积同以一百六十九言之圆积一百六十九则周四十五方积一百六十九则周五十二圆周不及方周五十二分之七矣又方积一百六十九则径十三圆积一百六十九则径十五方径不及圆径十五分之二矣此方圆之合率也至其容之大小悉较容兹不具论
　　通曰石斋先生之天方图九方九圆外方积一万六千三百八十四如率推之庇羃尽得余别録焉
　　方内容圆法
　　方面求圆积庇积式方面十四问圆积庇积各几何曰圆积一百四十七庇积四十九术以方面十四自乘得方积一百九十六以七五乘之得一万四千七百降二位为圆积一百四十七以二五乘方积得四千九百降二位为庇积四
　　十九【法有二位故降二位】又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积【七五乘二五乘説见后】
　　圆内容方法
　　圆径求方积羃积式圆径十四问方积羃积各几何曰方积一百羃积四十七术以圆径十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十为内方面自乘得方积一百用圆径求圆积【详后】得一百四十七以减方积余四十七为羃积
　　立方内容立圆法
　　立方面求立圆积立庇积式立方面十六问立圆积立庇积各几何曰立圆积二千三百○四立庇积一千七百九十二术通曰以立方面十六
　　自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六为立方积以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四为立圆积二积相减余一千七百九十二为立庇积【九乘十六除説见后】
　　立圆内容立方法
　　立圆径求立方积立羃积式立圆径十七问立方积立
　　羃积各几何曰立方积一千七百
　　七十一五六一立羃积九百九十
　　一九九九术通曰以立圆径十七
　　用径求积法【详后】得二千七百六十三五六零为立圆积以圆径为立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一为立方积二积相减余九百九十一九九九为立羃积
　　通曰凡方内容圆圆内容方必彼此相切方可立算
　　平方求积法【即开平方之还原也】
　　径求积式径三十二为积几何曰积一千○二十四术以径三十二自乘得一千○二十四为积
　　周求积式周一百二十八为积几何曰积一千○二十四术以周一百二十八用四除之得三十二为径自乘得积
　　平圆求积法【即开平圆之还原也】
　　径求积式径六为积几何曰积二十七术径六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七为积又术径六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合【三乘四除説见后】
　　周求积式周十八为积几何曰积二十七术周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七为积【十二除説见后】周径求积式径六周十八为积几何曰积二十七术径六与周十八相乘得一百○八以四除之得二十七为积
　　通曰此与三乘四除同径一周三故也
　　半周求积式半周九为积几何曰积二十七术九自乘得八十一以三除之得二十七【三除説见后】
　　半径求积式半径三为积几何曰积二十七术三自乘得九以三乘之得二十七【三乘説见后】
　　半周半径求积式半周九半径三为积几何曰积二十七术九与三相乘得二十七
　　通曰方径自乘得方形以此方形积均分作四股圆形内得三股四庇共得一股故用七五乘
　　者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
　　通曰径用三乘得长方形即周径相乘也此内容圆形者三而三圆形之庇积
　　又成一圆形之积以此一圆并三圆而为四故三乘者用四除也
　　通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圆形者亦九三圆形之庇积成一圆形之积则九圆形之庇积必成三圆形之积矣以此三圆并九圆而为十二故用十二除也
　　通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除盖三除者十二除四分之一
　　也半径自乘与庇积等三其庇积而成圆积故用三乘也
　　立方求积法【即开立方之还原也】
　　径求积式径三十二为积几何曰积三万二千七百六十八术径三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三万二千七百六十八为积
　　立圆求积法【即开立圆之还原也】
　　径求积式径四十八为积几何曰积六万二千二百○八术径四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一万○五百九十二以九乘之得九十九万五千三百二十八以十六除之得六万二千二百○八为积周求积式周一百四十四为积几何曰积六万二千二百○八术周一百四十四自乘得二万○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八万五千九百八十四以四十八除之得六万二千二百○八为积
　　通曰立圆径自乘再乘乃立圆外之立方积也九回立方积即十六回立圆积故以九乘十六除也立圆周自乘再乘乃二十七回立方积也即四十八回立圆积故以四十八除也葢二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求积之不用二十七乘者周巳大于径三回故不用三回九之二十七乘也
　　方环求积法
　　外方内方求环积式外方甲乙二十内方丙丁一十为环积几何曰积三百术以甲乙二十自乘得四百为庚辛乙甲全积以丙丁一十自乘得
　　一百为壬癸丁丙内积二积相减余三百为庚壬丙甲环积又术以甲乙二十并丙丁一十为三十倍之得六十为通环之长以丙丁减甲乙余一十折半得五即丁至巳为环濶以濶乘长得三百为环积
　　通曰并外方四面得八十并内方四面得四十又相并为一百二十折半得六十亦合环长
　　圆环求积法
　　外周内周求环积式外周甲戊乙巳四十八内周丙庚丁辛二十四为环积几何曰积一百四十四术以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二为甲
　　乙戊己全积以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八为丙庚丁辛内积二积相减余一百四十四为甲丙戊庚环积又术以外周三折得全径十六以内周三折得内径八两径相减余八折半得四即甲至丙为环濶以三乘濶得十二减外周余三十六为通环之长以濶乘长得一百四十四为环积内周外周求环径式【即环濶也】术以外周四十八减内周二十四余二十四以六除之得四为环径即甲至丙内周环径求外周式术以六乘环径四得二十四并内周二十四得四十八为外周
　　外周环径求内周式术以六乘环径四得二十四减外周四十八余二十四为内周
　　通曰圆以六包一故用六乘六除也【详外包】
　　四破合环法
　　四破之一求去内外角成环式欲于丑寅大直角方形
　　内成圆环外周切方边内周
　　六问于甲丙小直角方形内
　　去内角外角各几何曰内角
　　去乙巳一外角去庚丁二术
　　通曰先于甲丙形用方斜率
　　法求得乙至丁为七乙至丙
　　为五乃以三除内周六得二为内径半之得一为半径即甲丙形之内角乙巳一也去之乙丙五内减等乙巳之乙戊一尚存戊丙四为环濶又于乙丁斜七减内角乙己一又减等戊丙之己庚四尚余庚丁二是为外角应去者也甲丙形为一破加丑乙子乙寅乙三破而环成矣故曰四破合环
　　二破至九破率説
　　通曰以前式四破之一为率二破得率二分之四益率
　　二分之二而成二破之一也三
　　破得率三分之四益率三分之
　　一而成三破之一也五破得率
　　五分之四损率五分
　　之一而成五破之一
　　也六破得率六分之
　　四损率六分之二而
　　成六破之一也七破
　　得率七分之四损率
　　七分之三而成七破
　　之一也八破得率八
　　分之四损率八分之
　　四而成八破之一也九破得率九分之四损率九分之五而成九破之一也万亿皆然葢四破得方圆四分之一故以四破为率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈细也至彼此互变皆以率通或五变六或八变七以所变之六七为法分其应变之五八一破多益少损无不适合
　　合破成立圆法
　　式欲成子丑立圆形为破几何术通曰以圆周剖之周大则剖多周小则剖少以剖后之一破腰无圆形而止
　　也如以子丑圆周剖为三十二破一
　　破如丙丁甲乙形甲乙平而不圆矣
　　又以丙丁甲乙剖为二如丙甲乙甲
　　乙丁两形而两形必等则三十二其
　　丙丁甲乙形而成立圆六十四其丙甲乙形亦成立圆也葢丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
　　方内容弧矢六角八角法
　　直方内容弧矢形式方长十四方阔七问弧内积二角余积各几何曰弧内积七十三五二角余积二十四五术方长十四即方阔七即矢相并得二十一折半得十○五以矢七乘之得
　　七十三五为弧内积方长十四方阔七相乘得九十八为全积以减弧内积余二十四五为二角积折半得十二二五为一角积
　　通曰以十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角积
　　直方内容六角形式方长二十方阔十八六角面十问六角内积四角余积各几何曰六角内积二百七十四角余积九十术以方长二十减六角半面五余十五以方阔十八乘之得二百
　　七十为六角内积以角外余长五折半得二五乘角外余阔九得二十二五为一角积以四乘之得九十为四角积
　　通曰以余长五余阔九相乘得四十五倍之得九十亦合四角积
　　方内容八角形式八角面七问八角内积四角余积各几何曰八角内积二百三十九四角余积五十术以五乘八角面七得三十五以七除之得五为角外余方倍之得十为上下两余方加八角面七得十七为大方面自乘得二百八
　　十九为全积以角外余方五自乘得二十五倍之得五十为四角积以减全积余二百三十九为八角内积通曰以余方五自乘得二十五折半得十二五为一角积此式乃斜求方也四隅角面即方斜余方即方斜面故用五乘七除
　　方内容小圆法
　　式余积二千四百圆边离方边十问方面圆径各几何曰方面六十圆径四十术以离边十自乘得一百以三乘得三百加余积二千四百得二千七百为实以六乘离边十
　　得六十为从方用带从开平方法除之得三十【详十二卷】倍之得六十为方面以方面减两离边二十余四十为圆径
　　圆内容小方法
　　式余积七十二离边三问圆径方面各几何曰圆径十二方面六术以离边三自乘得九以四乘之得三十六倍余积得一百四十四相并得一百八十为实以离边三乘八
　　得二十四为纵方用带纵开平方法除之得六【详十二卷】为半径倍之得十二为圆径以圆径自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以减余积七十二余三十六平方开之得六为方面
　　又式圆径九歩七分五厘离边三歩问内方积上下大弧积左右两直方积左右两小弧积各几何曰内方积十四歩○六厘二毫五丝大弧积各十八歩直方积各九歩八分四厘三毫七丝五忽小弧积各七分七厘三毫四丝
　　三忽七微五纎术以圆径折半得四歩八分七厘五毫自乘得二十三歩七分六厘五毫以半径减离边余一歩八分七厘五毫自乘得三歩五分一厘五毫两自乘相减余二十歩○二分五厘平方开之得四歩五分倍之得九歩为大弧用弧矢法【详后】得弧积十八歩以圆径减两离边余内方面三歩七分五厘自乘得十四歩○六厘二毫五丝为内方积以大弧九歩减内方面三歩七分五厘余五歩二分五厘折半得二歩六分二厘五毫为直方濶与内方面【即直长方】相乘将九歩八分四厘三毫七丝五忽为直方积内方面即小弧以圆径减大弧九歩余七分五厘折半得三分七厘五毫为小弧矢用弧矢法得小弧积七分七厘三毫四丝三忽七微五纎以大弧积倍之得三十六歩以直方积倍之得十九歩六分八厘七毫五丝以小弧积倍之得一歩五分四厘六毫八丝七忽五微以诸倍数与内方积十四歩○六厘二毫五丝相并得七十一歩二分九厘六毫八丝七忽五微为全圆之积
　　圆内容锭形法
　　式圆径十四问锭内积两榄余积各几何曰锭内积一
　　百两榄余积四十八术以五乘圆
　　径十四得七十以七除之得十卽
　　圆内容方边自乘得一百即容方
　　积即锭内积也以圆径十四减容
　　方边十余四即榄腰濶折半得二
　　加容方边十得十二乘腰濶四得四十八即两榄积又术以锭长十四【即圆径】自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百为锭积
　　通曰圆内容锭与圆内容方等者何也葢截方两腰之半补上下而成锭截锭上下之等半腰者补两腰而成方也故圆径即锭长锭斜即圆径戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方边也故用五乘七除此斜求方耳以圆径求积得一百四十七今两积合为一百四十八而多一者葢榄长即容方边自乘百内多一也锭长自乘而加二者葢百内少二斜求积之差也
　　大平方内容小平圆求积圆法
　　式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆九积空成圆三共积圆十二术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九即为积圆九也用前方内容圆法毎一小圆得内积一百四十七为圆实得庇积四十九为庇实以积圆九乘庇实得四百四十一
　　为隅空以圆实除隅空得三即为积空成圆三也加积圆九得十二即为共积圆十二也
　　大立方内容小立圆求积圆法
　　式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆二十七积空成圆二十一共积圆四十八术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
　　得二十七即为积圆二十七也用前立圆求积法毎一小立圆得内积一千五百四十三五为圆实以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七万四千○八十八为全方实以积圆二十七乘圆实得四万一千六百七十四五为全圆实以全圆实减全方实余三万二千四百一十三五为隅空以圆实除隅空得二十一即为积空成圆二十一也加积圆二十七得四十八即为共积圆四十八也
　　通曰前式三分益一也圆居方四分之三庇居方四分之一则庇必居圆三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圆居立方十六分之九立庇居立方十六分之七则立庇必居立圆九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
　　大平圆内容小平圆求积法
　　式大圆径十二容积圆七小圆径四问积空成圆共积圆各几何曰积空成圆二共积圆九术通曰以大圆径十二用前平圆求积法得全积一百○八为全圆实以小圆径四亦如
　　法得内积十二以乘积圆七得八十四为小圆实二实相减余二十四为隅空以内积十二除隅空得二即为积空成圆二也加积圆七得九即为共积圆九也
　　大立圆内容小立圆求积圆法
　　式大立圆径十二容积立圆十五小立圆径四问积空成立圆共积立圆各几何曰积空成立圆十二共积立圆二十七术通曰以大立圆径十二用前立圆求积法得全积九百七
　　十二为全立圆实以小立圆径四亦如法得内积三十六以乘积圆十五得五百四十为小立圆实二实相减余四百三十二为隅空以内积三十六除隅空得十二即为积空成立圆十二加积立圆十五得二十七即为共积立圆二十七也【按大立圆径十二小立圆径四必不能容十五设题未合】通曰此二式不可为率隅空不等故耳近边则空多近中则空寡若不论小形而论大小形之积实则凡大形内容小形者先求大形之全积为实次求小形之内积为法以法除实皆得其积若干小形之数也
　　弧矢【少广之二】
　　弧矢解
　　弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一与一矢以矢乘积倍之适得一一矢之数因未知矢故以积自乘为实约一度乘积以为上廉两度乘径以为下廉并之为法而后可以得矢也用三乘者何也积本平方以倍积自乘是两度平方矣故用三乘方法开之上廉下廉俱用四乘者何也倍积则乘出之数为积者四故也如不倍积廉不用四乘以一二五为隅法亦通减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢也或不减径作添积三乘方法亦通五为负隅者何也凡平圆之积得平方四分之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺虚隅二寸五分其矢得四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意也
　　圆径截积求矢法
　　式圆径十三截积三十二问矢各几何曰矢四十二术倍截积三十二得六十四自乘得四千零九十六为实以四乘截积三十二得一百二十八为上廉以四乘圆径十三得
　　五十二为下廉以五为负隅用开三乘方法除之【详十四卷】得四为矢倍截积得六十四以矢除之得十六减矢余十二为
　　弧积离径求矢弧背圆径半径法
　　式弧积一百二十八离径五问矢背圆径半径各几何曰矢八二十四弧背二十九零圆径二十六半径十三术以弧积一百二十八为实倍弧积得二百五十六平方开之得十六为法以法除实得八为矢以矢加法十六得二十四为以矢自
　　乘得六十四以二十四除之得二六零为半与背之差倍之得五零加二十四得二十九零为弧背以折半得十二自乘得一百四十四为实以矢八为法除得十八加矢得二十六为圆径折半得十三为半径即离径五与矢八相并也
　　矢求弧积式术矢相并得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八为弧积又术矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相并得二百五十六半之为弧积
　　矢弧积求式术倍弧积得二百五十六以矢八除之得三十二减矢余二十四为
　　弧积求矢式术倍弧积得二百五十六以二十四为纵方用带纵开平方法除之【详十二卷】得八为矢圆径求离径矢式　术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以折半得十二自乘得一百四十四两自乘相减余二十五平方开之得五为离径以半径十三减离径五余八为矢
　　矢圆径求式　术以圆径二十六减矢八余十八以矢乘之得一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
　　离径求圆径式　术以折半得十二自乘得一百四十四以离径五自乘得二十五相并得一百六十九平方开之得十三倍之得二十六为圆径
　　圆径离径求式术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以离径五自乘得二十五相减余一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
　　弧矢内股求勾法
　　式圆径十矢一为勾几何弧几何曰勾三弧六以圆径十折半为五自乘得二十五为羃以半径五减矢一余四为股自乘得十六为股羃二羃相减余九平方开之得三为勾倍勾得六为弧又术以
　　圆径自乘得一百为大羃以圆径减倍矢二余八自乘得六十四为大股羃二羃相减余三十六为大勾羃平方开之得六为弧半之得三为勾
　　通曰弧矢与勾股相通不惟此也如勾与股较求股是矣半径也股离径也勾半弧也
　　弧矢内勾求股法
　　式圆径十弧六为股几何弧矢几何曰股四弧矢一术以圆径十折半得五为以弧六折半得三为勾自乘得二十五勾自乘得九相减余十六平方开之得四为股以股减半径五余一为矢
　　圆径直方濶求两弧矢积法
　　式圆径七十四直方濶二十四为两弧积各几何直方积几何曰弧积各一千一百八十七五直方积一千七百三十二术以圆径七十四自乘得五千四百七十六以三乘
　　之以四除之得四千一百○七为全积以圆径减方濶二十四余五十折半得二十五为矢用前径矢求弧法得七十又用矢求弧积法得弧积一千一百八十七五倍之得二千三百七十五为两弧积以减全积余一千七百三十二为直方积
　　通曰矢得径十之一者必六倍于矢矢得径十之二者必四倍于矢矢得径十之三者必三倍于矢矢得径十之四者必倍于矢而又八分矢之三也矢得径十之五者必倍于矢也弧矢者半圆所生也

　　数度衍巻九
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十
　　桐城　方中通　撰
　　较容【少广之三】
　　同周异容
　　通曰周不可以论容故方田不以周歩为率同周者形必异形异容故异耳
　　式一同周多边形容积大于少边形容积何也少边如甲乙丙三角形甲乙甲丙两腰各五乙丙底六共周十六多边如己庚戊辛四角形己戊庚辛与三角之腰等
　　皆五己庚戊辛与三角之半底
　　等各三共周亦十六以三角用
　　甲丁线折半得甲丁乙甲丁
　　丙两小三角形以四角形己戊庚辛与甲丁较去己壬庚癸存壬戊癸半皆与甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊与甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等边容积大于不等边容积何也等边如甲乙丙丁四直角形毎边六共周二十四不等边如戊己庚辛四直角形两边五两边七共周亦二十四以等边之六自乘得积三十六以不等边之五七相
　　乘得积三十五是不等边之积
　　少一矣又如两边四两边八共
　　周亦二十四而积三十二又少
　　矣两边三两边九共周亦二十四而积二十七又少矣两边二两边十共周亦二十四而积二十又少矣边愈不等积愈少也
　　通曰又如四边皆三周得十二积九两边二两边四周亦十二积八是九之中一藏而无周八无中可藏故少一也右式等边形中有离边积十六不等边形中止有离边积十五可见少一积者非少近边之积乃少离边之中积也
　　式三同周等边四角形直角容积大于斜角容积何也直角如甲乙丙丁四角形毎边五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎边五共周二十以斜角截戊庚丁三角形补己辛
　　丙三角形适足是庚辛丙丁形与戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚余甲乙庚辛形乃多于斜角者也
　　式四同周有法形多边容积大于少边容积何也多边如甲乙丙有法形【边边相等角角相等曰有法也】不拘边数今为六边
　　毎边四共周二十四少
　　边如丁戊己有法形今
　　为四边毎边六共周亦
　　二十四试于两形外各
　　作一圜而从圜心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬戊己于癸其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而徧以戊己求周四其戊己而徧则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例而癸辛子角大于壬庚乙角其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也然则多边直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎
　　式五同周等底三角形等边容积大于不等边容积何
　　也等边如甲丁丙三角形丁甲甲丙
　　丙丁各六共周十八不等边如乙甲
　　丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
　　乙丙五共周亦十八试引甲丁至戊
　　令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊两线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线连之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙等边三角形必大于乙甲丙不等边三角形矣通曰以丁庚甲三角形与乙庚丙三角形相较知乙庚丙之小于丁庚甲即知乙甲丙之小于甲丁丙也式六同周多边形等边容积大于不等边容积何也等边如甲庚丙丁戊巳多边形毎边六共周三十六不等边如甲乙丙丁戊巳多边形甲乙边四乙丙边八他边皆六共周亦三十六作甲丙线视甲庚丙大于甲乙丙则知甲庚丙丁戊巳大于甲乙丙丁戊巳也
　　通曰甲乙辛与辛庚丙两形较知甲乙辛小于辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小于甲庚丙丁戊巳也
　　式七同周多边等边形等角容积大于不等角容积何
　　也通曰等角如子丑寅
　　卯辰午多边等边形毎
　　边十共周六十不等角
　　如甲乙丙丁戊巳多边等边形毎边亦十共周亦六十作丑午线得十八作丑卯线亦得十八丑午既与丑卯等则子申必与寅未等是午子丑与丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳线少于十八作乙丁线多于十八乙丁既大于乙巳则甲庚必大于丙辛是巳甲乙与乙丙丁之甲角丙角不等也今以两形叠而较之今巳戊与午辰同线又令子遇甲乙线于子卯遇丙丁线于卯乃视并甲子巳与卯丁戊两小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
　　角形则知甲乙丙丁戊巳形小于子丑寅卯辰午形矣式八同周圆形容积大于有法形容积何也圆形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎边九共周亦五十四庚为甲乙丙之心辛为丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊巳相似【同为有法之六角形】而从壬
　　癸切圆于甲者作半径线于
　　庚则庚甲为壬癸线而分
　　壬癸之半又从辛作子丑
　　线则辛丁亦分子丑之半两
　　形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大于圆周而圆周与丁戊巳形同则是乙壬癸丙周原大于丁戊巳周矣夫两形相似而壬癸边大于子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛是故取甲庚线与半圆周线以作矩内直角形其与圆地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也推此则是圆形大于等
　　周之多边形也
　　通曰圆周五十四圆外六角周六十是多六矣虽与丁戊己六角相似而周不同也
　　今以同周之甲乙丙丁戊己两形相较圆形外有六小三角形圆内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小于甲乙丙也
　　式九同周浑圆形容积大于长圆形容积何也通曰浑圆如甲乙丙丁戊己形周三十六长圆如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以两形相较长圆加浑圆之上必透
　　乙庚丙己辛戊两半圆形必虚丙丁戊癸乙甲己壬两半圆形以乙庚丙半圆形与丙丁戊癸半圆形相较则乙庚丙形必小以乙甲己壬半圆形与己辛戊半圆形相较则乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大于庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
　　通曰边莫少于三角莫多于浑圆浑圆似乎无角而其角之多不可指説也同周之容其角渐多其容渐大故以浑圆为最大以三角为最小葢大者因角而大也角向外生内必益地虽中距之径少不敌角増之地多也方者不以角论长方与正方同为四角直方与斜方同亦四角一增于中藏之无边一减于斜周之无积故以长方斜方为小以正方直方为大也其不成形者不可防举矣
　　同容异周
　　通曰有积于此可方可圆可斜可直周之不一其积实同周既不可以论容容亦不可以论周也
　　式同容少边形周大于多边形周何也少边如甲乙丙形多边如甲巳丙丁形以甲乙丙形分为二得甲丁丙甲丁乙两形以甲巳丙丁形
　　分为二得甲巳丙甲丁丙两形相较皆等容而甲丙长于已丙甲乙长于甲丁是以少边者为大也
　　通曰此与同周异容相反同周以少边为小言容之小也同容以少边为大言周之大也举一可以类推
　　倍大
　　通曰其所容多一倍也
　　同底倍大容积式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁线甲丁乙形与甲戊乙形等甲丁丙形与甲巳丙形等故也
　　通曰下同乙丙底上切甲防作与乙丙
　　平行线得长方形始可
　　不同底倍大容积式通曰以丙乙同底而言则戊巳丙乙形倍于甲乙丙形以丙乙与丙丁不同底而言则甲巳丙丁形两倍于甲乙丙形葢甲戊丙乙形与戊巳丙乙形等则甲丙线分甲戊丙乙为甲乙丙甲丙戊两形是甲乙
　　丙形为戊巳丙乙形之半即为甲巳丙丁形四之一也
　　变形同容
　　通曰此形容积亦可以他形容之葢不变容而变形也六角变四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲变为四角形视六角之心于庚自庚至甲乙作直角线为庚
　　辛另作壬癸线与庚辛等作癸
　　子与甲乙丙丁线等则壬癸子
　　丑四角形与甲乙丙丁戊巳六
　　角形之所容等也
　　论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等葢此半边三其三角形照甲乙庚形作分中线其矩线内直角形俱倍本三角形故也
　　通曰半径线作横线半周线作直线两形之容相等则以六角形之全径全周作四角形其容四倍矣然六角之径必须两角中分之辛寅相对为径非角对角之甲丁为径也
　　六角变三角式六角如甲乙丙有法形欲变为三角形视六角之心于丁从丁望甲乙作线为丁戊线另作丁戊线相等作戊己线与甲乙丙全周线等则丁戊庚己四角形倍于甲乙丙六角形今以丁戊庚己分为二得丁己戊三角形与甲乙丙六角形之所容等也
　　论曰以丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等何者戊辛线得甲乙丙
　　之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形自等矣
　　圆形变四角三角式圆形如甲乙丙形先变为四角形视圆心于丁得半径丁乙线另作丁乙线相等作乙戊线与甲乙丙半周线等则丁乙戊己四角形与甲乙丙圆形之所容等也次变为三角形倍乙戊线为乙庚线与
　　甲乙丙全周等又作丁庚线则丁乙庚三角与甲乙丙圆形之所容等也
　　通曰截丁己辛形为辛戊庚形则丁乙戊己形内虚丁己辛地与丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等则等圆形之四角变为三角等四角之三角自等于圆形也鋭觚形变直角立方形式觚形不拘几面如甲乙丙丁
　　戊底其顶巳今变为寅庚
　　直角立方形其底庚辛壬
　　癸得甲乙丙丁戊底三之
　　一其高庚子与觚等则寅
　　庚直角立方形与甲乙丙丁戊己鋭觚形之所容等也论曰从立形底诸用与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与庚寅形同底同髙又同己甲鋭觚之髙己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三【两觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】则寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方与己甲觚自等也
　　斜角能含圆形变直角立方形式平面不拘几边其全体可容浑圆切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊试从戊壬割圜之半作戊
　　己庚辛圜从壬心望各切圜之
　　防作壬戊为甲乙线壬己为
　　乙丙线壬庚为丙丁线壬
　　辛为甲丁线今变为直角立
　　方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁体三之一而其髙丑子与圆半径等则午子直角立方形与甲乙丙丁全形之所容等也
　　论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚鋭顶此各觚皆以其三分底之一及至鋭高之数为直角立方形皆与觚所容等又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圆之半径也
　　浑圆变直角六方形式浑圆如甲乙丙形其心为丁作
　　甲丁半径线今变为直角立方戊形
　　在甲丁径及甲乙丙浑圆三之一矩
　　内则戊形与甲乙丙全形之所容等
　　也
　　论曰若言不等谓戊大于浑圆形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圆大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形边各作线则线必长于
　　甲丁又自丁心至形各角作
　　直线以分此形为几觚其庚
　　辛壬法形诸直线为觚底而
　　线至丁心为觚鋭顶试取
　　各觚底三之一及丁线之高以作直角立形与觚等则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等如云以甲丁为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体若谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬内之法形亦大于戊形也而况庚辛壬形乎则戊体不大于甲乙丙可知矣
　　又论曰戊形小于甲乙丙浑圆体者其较为己试从丁
　　心再作癸子丑圜小于甲乙
　　丙而勿令小于戊或大或等
　　者以騐之于甲乙丙圜内作
　　有法形不令切癸子丑而从丁至甲乙丙各面为线此线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底丁心为觚鋭顶而取觚底三之一及底至丁之线以作直角立形与觚等若使以甲丁为高而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必高于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大于甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全乎则戊体不小于甲乙丙又可知矣
　　相似
　　通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
　　并线并形求与并线形同容式有甲乙丙及丁戊己三
　　角形二两形相似因并甲丙
　　丁巳为丁辛一直线于上作
　　直角方形又并甲乙丁戊为
　　丁庚乙丙戊巳为庚辛乃并此二线上所作两方形与丁辛线上方形之所容等也
　　论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度从庚作线与戊己平行又引丁巳长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行则巳壬辛之角形与丁戊巳相似而丁戊巳与甲乙丙相似矣何者巳壬辛角与庚角等庚角与丁戊巳角等巳角又与乙角等而辛角与丁巳戊角及两角俱等壬巳辛角与甲角亦等又巳壬边与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙巳辛与甲丙俱相等故丁辛线兼丁巳甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度庚辛线兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直方形并自相等矣通曰此与勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内应有勾股二羃也
　　两形互并求同周式甲乙丙丁两底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰与巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于巳角而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等也其法作庚辛线与甲戊戊乙丙巳巳丁四线并等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸
　　平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣夫庚辛并既大于甲乙丙丁并则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三线毎二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲
　　乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周也
　　通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
　　戊乙小丙己丁大以大并小
　　以小并大互并而大小隠矣
　　两形互并较容式甲丙丙戊大小两底上设有甲乙丙丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令
　　于两底上依右法别作甲己丙丙
　　庚戊两形相似而前两三角形并
　　与之等周则甲己丙丙庚戊相似
　　之形并其所容大于甲乙丙丙丁
　　戊不相似之形并也
　　论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从己过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬两边与丙己壬三角形之丙己己壬两边等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就其上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛为癸线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣】此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者毎减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙丁戊庚丙形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又毎加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊两三角形并哉其底同其周同四腰俱同则不相似之形并必小于相似之形并也

　　数度衍卷十
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十一
　　桐城　方中通　　撰
　　递加【少广之四】
　　循次顺加
　　一　二　三　四　五　六　七　八　九　十　十一
　　超二位加
　　一　三　五　七　九　十一　十三　此竒数超加也
　　二　四　六　八　十　十二　十四　此偶数超加也
　　超三位四位五位加
　　一　四　七　十　十三　十六　十九　此超三位加也
　　一　五　九　十三　十七　二十一　此超四位加也
　　一　六　十一　十六　二十一　二十六　此超五位加也
　　凡超位加各审其母如超二超三四五以至多位者各以所超之数为母其间少者易知多者难定大率以退位减之余数即母也
　　截三位较
　　不论超与不超凡截位较之其前后二位数必倍于中
　　位数如截一二三并
　　一三为四即倍二也
　　截一三五并一五为
　　六即倍三也截二四六并二六为八即倍四也截二五八并二八为十即倍五也截四八十二并四与十二为十六即倍八也不拘前后随意截较无不合
　　截四位较
　　凡截四位较之则前后二位数与中二位数等如截一
　　二三四并一
　　四为五并二
　　三亦五也截
　　一三五七并
　　一七为八并三五亦八也截二四六八并二八为十并四六亦十也截二五八十一并二与十一为十三并五八亦十三也截四八十二十六并四与十六为二十并八与十二亦二十也
　　通曰截竒位者前后并必倍中位数截偶位者前后并必与中二位等葢所截之位自中向外一损一益中一位者无可并而倍矣中二位者无可倍而并矣
　　截四位逓加逓减较
　　通曰凡截四位数以中二位相加减后一位数余与前一位数等如截一二三四以二三相并得五减后之一余必前之四也截一三五七以三五相并得八减后之一余必前之七也截二四六八以四六相并得十减后之二余必前之八也截二五八十一以五八相并得十三减后之二余必前之十一也截四八十二十六以八与十二相并得二十减后之四余必前之十六也若减前数余必后数可以互较
　　超加求积法
　　凡加数不论超二超三但系逓加者用此
　　式自一起至十三位得三十七问总积几何曰二百四
　　十七术除首位一不用以次位
　　四与末位三十七并得四十一
　　自四至三十七系十二位即以
　　十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位总积再加首位一得二百四十七为十三位总积也
　　顺加求积法
　　式下行濶十五问总积几何曰一百二十术取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
　　四以至首位一之积也再并
　　末位十五得一百二十为总
　　积又术以末位十五与下位
　　十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
　　通曰相乘得其倍数者
　　变三角为四角也半之
　　则仍还三角矣如末位
　　系七以六七相乘则末
　　位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之积以末位七与下位八相乘则末位七在内成丁戊己方形折半故得七位之积也
　　顺加异首求积法
　　首位不系一数或二或三四为首者用此
　　式首行四下行十四问总积几何曰九十九术以首位
　　四并末位十四得十八为
　　实以首位四减末位十四
　　余一十加一得十一此即位数也以位数十一乘实十八得一百九十八半之得九十九为总积
　　四面顺加求积法
　　式四面顺加毎面底濶皆十二问总积几何曰六百五十术置底濶十二另以十二加一为十三乘之得一百五十六又以十二加半为十二五乘之得一千九百五十为实以三除之得六百五十为总积
　　长濶顺加求积法
　　式长濶顺加底濶八长十三问总积几何曰三百八十四术以底长十三减底濶八余五折半得二五又加半得三并长十三为十六以濶八乘之得一百二十八另以濶八加一为九乘之得一千一百五十二为实以三除之得三百八十四为总积
　　通曰四面顺加自一面视之则为顺加以四面合视之则非顺加也其加有二一曰竒数之加一曰自乘之加如顶一加三得四为第二层之积四加五得九为第三层之积九加七得十六为第四层之积总以竒数逐渐加于毎层积上故至十一层应加二十三得一百四十四为第十二层之积此竒数之加也又如一至十二层毎层以自乘数推之首层一自乘仍是一二层二自乘得四三层三自乘得九四层四自乘得十六至十二层十二自乘得一百四十四亦合各层之积此自乘之加也长濶顺加自濶面视之则为顺加自长面视之则为顺加异首而四面合视之其加亦有二一曰逓四加周一曰竒偶加积如异首之首层为五此层加法稍不同先倍五为十又加二得十二为第二层之周此后毎层加四以十二加四得十六为第三层之周十六加四得二十为第四层之周二十加四得二十四为第五层之周如法加至第八层濶八长十二得周三十六此逓四加周也又如首层五加七得十二为第二层之积十二加九得二十一为第三层之积二十一加十一得三十二为第四层之积总以竒数渐加于毎层积上加至第八层得积九十六此竒数加积也若前式濶八长十三首层系六者则偶数加积矣
　　竒偶超加求积法
　　竒数超加求积式末位十九问总积几何曰一百术取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
　　数也以位数十自乘得一百
　　为总积
　　偶数超加求积式末位二十四问总积几何曰一百五
　　十六术取末位二十四
　　减半得十二即位数也
　　以位数加一为十三以乘位数十二得一百五十六为总积
　　通曰用前超加求积法亦可
　　超加求首尾数法
　　若多中起数超位逓加但知位数及所超母数或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
　　超加求尾数式超八逓加至十二位首位三问尾位数
　　几何曰尾位数九十一
　　术于位数十二内减一
　　存十一与超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位数
　　超加求首数式超八逓加至十二位尾位九十一问首位数几何曰首位数三术于位数十二内减一存十一与超母八相乘得八十八以减尾位九十一余三即首位数
　　积和求位数及首尾二位数法
　　若但举总数及超数及首尾和数而不知系几位不知首尾二位数者用此
　　式超六逓加总积三百二十首尾和一百六十问位数
　　及首尾各几何曰四位首位七十
　　一尾位八十九术以总积三百二
　　十为实以首尾和一百六十减半得八十除实得四为位数又以位数减一余三乘超母六得十八为位母率以位母率并首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九为尾位数以位母率减首尾和余一百四十二半之得七十一为首位数
　　积较求首尾二位数法
　　若但举总数及位数及首尾较数而不知首尾二位数者用此
　　式超六逓加计六位总积四百九十八首尾之较三十问首尾各几何曰首位六十八尾位九十八术倍总积得九百九十六为实以位数六除之得一百六十六以较三十减之余一百三
　　十六折半得六十八为首位数以首位数加较三十得九十八为尾位数
　　超加求逐位细数法
　　若但知位数总数及超母数而不知毎位细数者用此式超三逓加计六位总积八十七问逐位细数几何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一术取位数六除去第六数自一二三四至五并得十五以乘超母三得四十五以减总积八十七余四十二为实以位数六除之
　　得七为首位数加超母三得十为二位数逓加超母得逐位数
　　通曰以位数减一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位应三二位应六三位应九四位应十二五位应十五乃并此五位应得之数为四十五以减总积余为实亦可
　　又式兄弟九人逓差三嵗共二百○七嵗问毎人嵗几何曰最小一人十一嵗逐位加三得毎人嵗数术将九人除去一位止作八人自一至八并得三十六乘逓差三得一百○八以减共二百○七余九十九为实以九人除之得一十一为最小一人之嵗数又术通曰以共二百○七嵗为实以九人除之得二十三为居中第五人之嵗数凡竒数如九人者可以用此若系偶数如前式六位者则以总积八十七为实以六位除之得十四五为居中二位率又以超母三折半得一五为母率以母率减中率余十三为第三位之数以母率并中率得十六为第四位之数也
　　又式银九百九十六两给八人毎人逓差十七两问毎人几何曰最少一人六十五两术将八人除去一人止作七人自一至七并得二十八乘逓差十七得四百七十六以减银九百九十六余五百二十为实以八人除之得六十五为最少一人之银数
　　通曰九人八人皆位数也差三差十七皆超母也二百○七嵗九百九十六两皆总积也
　　超加求超母及逐位细数法
　　若超位逓加但知系几位及前几位共数后几位共数而不知超母及逐位细数者用此
　　式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共数七十
　　七己庚辛三位共数六
　　十六问超母几何逐位
　　细数几何曰超母三甲位四十辛位十九术以甲乙二位二乘己庚辛共数六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共数七十七得二百三十一相减余九十九为实又并甲乙位二己庚辛位三为五减半得二五以减总位八余五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三为法以法除实得三为超母并入甲乙共数七十七得八十减半得四十为甲位数若求己庚辛则三分其己庚辛共数六十六得二十二为居中庚位数减超母三余十九为辛位数自甲向乙推之则逓减超母自辛向庚推之则逓加超母八位细数尽得也　如戊己庚辛四位共数九十四以二分之得四十七即己庚共数并入超母三得五十减半得二十五为己位数也
　　外包【少广之五】
　　通曰方者以八包一每层加八即超八逓加也圆者以六包一毎层加六即超六逓加也三角以九包一毎层加九即超九逓加也然其形不同而法又异故専衍之
　　包方法
　　外周求积式外周三十二问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八与外周三十二相并得四十又以四十与外周三十二相乘得一千二百八十为实以三层十六为法除之得八十加中心一得八十一为总
　　积
　　通曰方径一周四今八包一径三
　　周八者何也葢四隅之甲乙丙丁
　　各以两面为一数也若以两面俱作二数则仍是径三周十二矣
　　积求外周式总积八十一问外周几何曰三十二术去中心一在外余八十以三层十六乘之得一千二百八十为实以二层八【即超母】为纵用带纵开平方除之【详十二卷】得三十二为外周
　　外周求层式外周三十二问层几何曰除心四层连心五层术以超母八除外周三十二得四即除心之层数也加心一层共五层
　　外周及层数求积式外周三十二除心四层问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八并外周三十二得四十以四层乘之得一百六十减半得八十加中心一得八十一为总积
　　包圆法
　　外周求积式外周三十六问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六与外周三十六相并得四十二又以四十二与外周三十六相乘得一千五百一十二为实以三
　　层十二为法除之得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
　　通曰圆径一周三今六包一径三周六者何也葢其数隐而不见须从径三之外作一大圜切各小圜之边而于大圜之上作
　　甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周与小圜径等是己得周六矣又测子丑寅卯辰午六空处每一空处得小圜半径应折为三段合甲乙丙丁戊己六段而为九则仍是径三周九也但六包一六角而非圆以此为率亦得其成数也
　　积求外周式总积一百二十七问外周几何曰三十六术去中心一在外余一百二十六以三层十二乘之得一千五百一十三为实以超母六【即二层】为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
　　外周求层式外周三十六问层几何曰除心六层连心七层术以超母六除外周三十六得六即除心之层数也加心一层共七层
　　外周及层数求积式外周三十六除心六层问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六并外周三十六得四十二以六层乘之得二百五十二减半得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
　　包三角法
　　外周求积式外周三十六问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九与外周三十六相并得四十五又以四十五与外周三十六相乘得一千六百二十为实以三层十八为法除之得九十加中心一得九十一为总积
　　积求外周式总积九十一问外周几何曰三十六术除中心一在外余九十以三层十八乘之得一千六百二十为实以超母九为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
　　外周求层式外周三十六问层几何曰除心四层连心五层术以超母九除外周三十六得四即除心之层数也加心一层共五层
　　外周及层数求积式外周三十六除心四层问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九并外周三十六得四十五以四层乘之得一百八十减半得九十加中心一得九十一为总积
　　通曰方圆三角皆一法也但超母不同耳用前超加求积法亦可
　　包立方立圆立三角法
　　通曰立方圆三角之外包非逓加也立方以二十六包一三层则九十八四层则二百一十八立圆以十四包一三层则五十四层则一百一十立三角以三十四包一三层则一百三十四层则三百八十一数不相等故不可以超加论也
　　立方面求层式立方面九问层几何曰除心四层连心五层术通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之层数也加心一为五层毎层一面加二故二数为一层也
　　立方层求面式立方除心四层问面几何曰九术通曰以四层倍之为八如中心一得九即方面
　　立方面求外包式立方面九问外包几何曰三百八十
　　六术通曰用六方算之先推前后以
　　面九自乘得八十一倍之得一百六
　　十二为前后包数次推左右以面九
　　减二【近前之边去一近后之边去一】余七与面九相
　　乘得六十三倍之得一百二十六为左右包数再推上下以面九减二余七自乘得四十九【左右止去前后之边一故七九相乘上下则左右前后之边各去一故七自乘】倍之得九十八为上下包数并三包数得三百八十六为外包数又术通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九为全积以面九减二余七自乘得四十九再乘得三百四十三以减全积余三百八十六为外包又术通曰以面九减一余八与面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九减二余七自乘得四十九倍之得九十八相并得三百八十六亦合
　　立圆径层相求式通曰与立方同术毎层一面亦加二故也中心亦作一层
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷十一>
　　三余六为第三重之周包数减三余三为第二重之周包数顶重止一数并诸包数得三百六十一为总腰包数再并底包数得五百一十四为外包数若用前超加求积法以第十六重之四十五为末位求得积三百六十一即总腰包数也又术通曰立三角凡四面一面为底其三面皆腰今分为左腰右腰后腰以推之如前术既得底包数一百五十三之后即以底十七减一余十六用顺加求积法得积一百三十六为左腰包数又以底十七减二余十五用顺加求积法得积一百二十为右腰包数又以底十七减三余十四用顺加求积法得积一百○五为后腰包数并三腰包数得三百六十一合总腰包数再并底包数得五百一十四亦合外包数也
　　倍加【少广之六】
　　二因加
　　一　二　四　八　十六　三十二　六十四　一百二十八
　　三因加
　　一　三　九　二十七　八十一　二百四十三
　　求倍
　　倍即母也欲求其母者则取挨身小数于本数中减之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也如三十二挨身小数为十六以十六于三十二中减之两回十六减尽矣知是加一倍数又如八十一挨身小数为二十七以二十七于八十一中减之三回二十七减尽矣知是加二倍数
　　截三位较
　　凡截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位之
　　自乘数等如截二四八以二与
　　八相乘得十六四自乘亦十六
　　也如截三九二十七以三与二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
　　截四位较
　　以首尾二位相乘其所得数与中二位相乘之数等如截二四八十六以二与十六相乘得三十二四与八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三与八十
　　一相乘得二百四十三九
　　与二十七相乘亦二百四
　　十三也
　　位数多者凡偶位歩歩首尾相乘与挨身之中二位相乘等凡竒位歩歩首尾相乘与中一位自乘等
　　一倍加求积法【一倍者二因也】
　　式自一起加一倍至末位得六十四问总积几何曰一
　　百二十七术取尾
　　六十四倍之得一
　　百二十八于内减首一余一百二十七即七位总积也用后式之术亦可
　　二倍加求积法【二倍者三因】也
　　式自一起加二倍至末位得八十一问总积几何曰一
　　百二十一术取尾八十一于
　　内减首一余八十以倍母二
　　【二倍以二为倍母三倍以三为倍母】除之得四十再并尾八十一得一百二十一为总积
　　通曰倍母必减其因一数故三因以二为倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
　　半倍加求积法
　　加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半为六也
　　式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九问总积几何曰一百二十八又十六分之十一术取尾四十
　　五又十六之九内
　　减首四余四十一
　　又十六之九以倍
　　母半数除之【用竒零除法详笔算】得八十三又八之三再并尾数得一百二十八又十六之十一【用竒零加法】为总积
　　倍加隔位合数法
　　抽中一位前与后合式凡倍加数不论共有几位但就
　　中抽取
　　一位之
　　数自乘视所抽之位至首几位则自乘之数必与此后几位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位则前有四位也其后四位之数必二百五十六矣
　　通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九则所抽之位数自乘与第九位数同矣
　　抽中二位前与后合式于多位之中前抽一位后抽一
　　位相乘则视前抽之位去首
　　几位后抽之位再去几位其
　　数必与此相乘之数合也如前抽第二位其数二后抽第四位其数八相乘得十六前抽之位去首一位则后抽之位再去一位其数亦必十六也
　　倍抽减一前合后式不必算其前后之位但视所抽为
　　第几位倍其位数减一得后
　　应合之位则所抽位数自乘
　　必与后位数合也如抽第三位倍为六减一得五则第三位之四自乗得十六必与第五位之数合也
　　减位倍抽前合后式先排倍数于右次排位数于左须
　　除首位不算自次位作一
　　位排之抽第几位倍之不
　　必减一即得应合之位则所抽位之自乘必与后位数合也如抽第二位倍为四则第二位之四自乘得十六必与第四位之数合也
　　减位并抽前合后式抽两位之互乘则并所抽之两位
　　共为几位即知互乘之数
　　必与其位数合也如抽第
　　一位第三位二与八互乘得十六以一位与三位并为四位则第四位之数必十六也【互乘即相乘】以上皆首位起一者
　　异首减位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者则抽一位抽二位其自乘互乘之数皆先取首位之数除之而后倍位并位以求合数之位也如抽第
　　二位其数二十自乘得四
　　百为实以首数五为法除
　　之得八十再倍第二位为四则第四位之数必八十也
　　又如抽第一位第三位其
　　数十与四十互乘得四百
　　为实以首数五为法除之得八十再并第一位第三位为四则第四位之数必八十也
　　截位合前积式凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位
　　以其所截位之数
　　减一即合所截位
　　以前各位之总积凡自一起者用之如截第七位其数六十四减一得六十三即首位至六位之总积也截位合前后积式如右式六十三为首至六位之总积

　　若以此六位为主加一得六十四自乘得四千○九十六减一得四千○九十五即首至十二位之总积矣葢以六位为主以前管六位以后亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
　　通曰凡倍一加者随抽一位于其数内减一余必为以前诸位之总积也如抽第三位四减一余三必为以前一位二位之积三也又如抽第四位八减一余七必为以前一位二位三位之积七也故抽第十三位四千○九十六减一余四千○九十五必为以前首至十二位之总积也
　　又式借银一两毎日加息一倍至第六十四日问共银几何曰一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两术试截四位曰一曰二曰四曰八共积十五加一为十六自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系第八位之积再加一自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即系第十六位之积再加一自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六减一余四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五即系第三十二位之积再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六减一即系第六十四位之积也六十四位即六十四日也
　　通曰不必加减以第五日之数自乘得第九日之数又自乘得第十七日之数又自乘得第三十三日之数又自乘得第六十五日之数减半为第六十四日之积也葢五日加四而为九日倍四为八故九日加八日而为十七日倍八为十六故十七日加十六日而为三十三日倍十六为三十二故三十三日加三十二日而为六十五日也仿此推之可至无穷均输章有三术更觉简易

　　数度衍卷十一
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十二
　　桐城　方中通　撰
　　开平方【少广之七】
　　珠算开平方法
　　通曰四算中惟尺算不便于开方而珠笔筹法亦不同故分衍之
　　式横叄百贰十肆问平方一靣几何曰十八术列实于卯辰己下约初商一十置子位亦置未位为方法左右相呼曰一一如一除实一百卯位叄变二余实二百二十四以方法一十倍为二十为亷法变未位一为二约次商八置丑位亦置申位为隅法先左右二八相呼曰二八一十六除实一百六十卯位实尽辰位贰变六余实六十四次左右八八相呼曰八八六十四
　　除实六十四辰己二位实尽则所商之一十八即方靣也
　　通曰次商与初商不同须视实内除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外余实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止余六十三则不用八而用七矣
　　归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万余实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二余二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百余实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二余二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也
　　笔算开平方法
　　式积贰千壹百壹十防万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作防隔位一防共四知有四回商数也实首防在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初防下亦纪格右相呼四四一十
　　六于实贰千壹百内除一千六百
　　抹去贰壹变伍完首叚矣余实伍
　　百壹十防万捌千肆百○肆第二
　　叚实至次止曰伍壹防先立亷
　　法倍初商四为八注实壹下空次
　　防一位以待隅法乃商伍十壹内
　　【作五十一】有六囬八即用六为次商纪初商四右亦注六于次防下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叄又呼六六除实三十六万抹去叄防变壹完第二叚矣余实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三防止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为亷法注九于实壹下二于实捌下空三防一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣余实如故第四叚实至四防止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为亷法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内【作一十八】有二囬九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四防下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也
　　通曰初商防在实首者三以前用一八以前用二九则当用三防在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则防又在实首矣
　　用命分式　术倍前商数加一为母余实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九余实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以余实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用竒零整带零与整带零乗法【详笔算下】得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九囬二二五余二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十囬二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于余积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也
　　竒零开平方式　术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六余实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一【一千六百内有十九囬八十一余六十一】又不尽者八十一之二十必须另立一法【满八十一则归整一数止得六十一尚余二十】用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四【前四者初商也九之四者倍初商加一为母九余实为子曰九之四】而以少减多【以五为原数以四又九之四为减数】用竒零整内减整及零法余九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减余九之五除去整八在外
　　以九之五与九之八相并用竒零同母加法归整得一
　　零九之四乃以在外之整八并
　　入一为九得九零九之四也又
　　以此九零九之四为除数以前余未尽八十一之二十【余实也】为原数用竒零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
　　以此除得数与前九之四十相并【九之四十者倍初商四加一共九为母余
　　实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
　　并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也】用竒
　　零异母加法子母互乗并母并
　　子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚余二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也
　　通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八
　　又并入八得七十六为平方一面
　　之数也自乗得五千七百七十六
　　为方积实二十亦化之每一数作
　　十七之自乗共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之余实四化为一千一百五十六以二亷及隅较之先并八与十七相乗之数八得一千○八十八又并八自乗共得一千一百五十二又少四也则余实有终不能尽者矣
　　又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之
　　得四零二之一化之得二之九
　　【以四乗母二得八加子一共九故化为二之九】母子各
　　自乗得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置
　　四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乗母乗母子乗子得三十
　　六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二余三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七
　　筹算开平方法【见前筹算】
　　平方积较和开法
　　平方长濶不等者以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
　　积和求较式积八百六十四长濶和六十问长多濶几何曰十二术以和六十自乗得三千六百四因积得三千四百五十六相减余一百四十四平方开之得一十二为长多于濶之较
　　通曰积者勾股相乗之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法
　　积较求和式积八百六十四濶不及长十二问长濶和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长濶和
　　通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法
　　平方积较求濶
　　积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乗减曰减积开平方
　　一带纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
　　十四术列实定防以带纵壹十贰随
　　实首列之初商二纪格右亦列首防
　　下并纵首壹为三抹二壹而注三相
　　呼二三除实六首位实捌变二又呼
　　二贰除实四次位实陆变二完首余实二百二十肆倍初商二为四作亷法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以亷四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末防下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位余实二又呼四六除实二十四次位余实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即濶二十四也
　　又式　术如实贰十叄万○肆百纵防百贰十初商可用四但纵首防并四为十一实首贰叄无四十四可除
　　遇此须减商作二【三亦多故用二】纪格右亦注
　　首防下并纵防为九抹二七而注九
　　相呼二九除实一十八抹贰叄变五
　　又呼二贰除实四五变四○变六完
　　首叚余实四万六千肆百倍初商二作四为亷法列实○下又列纵于亷下次商四纪格右亦注次防下为隅法以亷四并纵防为十一抹四防而注一左位又注一【此十也】以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末防未开当于格右纪○以作三商则知直方濶二百四十长九百六十也
　　通曰以濶并纵得长也
　　又式　术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽防在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵防十贰数多即减一商【三防止两商也】退列纵于次防下起初商九纪格右亦注次防下并纵防为十六抹九防而注六左位注一相呼一九除实九抹
　　首壹陆变七又呼六九除实五十
　　四七变一壹变七又呼贰九除实
　　一十八七变五贰变四完首倍
　　九得一十八为亷法列之退列纵
　　次商六纪格右亦注末防下为隅法以亷八并纵防为十五抹八防而注五左位进一并亷一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得濶九十六长一百六十八又式　术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所防叚位开之如实叄万捌千肆百带纵贰百首位叄自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叄完首倍一作二为亷注次位并纵贰为四次商二纪右注次防下为隅呼除实尽尚剩一防未开商后加一○得濶
　　一百二十长三百二十
　　又式　术若防开位少而带纵位反多【加三防该百而带纵至千之类】以初商置首防下以带纵大数进左列之【必首叚系二位者方有此例】如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叄十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首防下
　　次纵伍当随一下列之【初商一百也次纵伍亦百
　　也】首纵壹进列首位下以初商一并
　　纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹
　　再呼一六除实六再呼一三除实三
　　完首倍初商一作二为亷注三位实下带纵壹退从次位起列伍于亷二下并为七次商二纪右注次防下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得濶一百二十长一千六百五十
　　又式　术带纵并商数有共一十者进位再并可也如
　　实防万贰千纵肆百捌十防在
　　首位初商一纪右注首防下纵
　　首随列以一并纵肆为五呼除
　　毕余实一万四千倍初商作二为亷注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次防下先呼二六除十二首位余实一抹去次位余四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得濶一百二十长六百
　　通曰旣列次商带纵先以亷二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位余实一次位余实四亦便
　　又式　术若实数纵数商数俱多者襍糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不
　　紊乱如实壹十陆万
　　陆千肆百陆十肆纵
　　壹千○捌十捌初商
　　一纪右注初防下三
　　防知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首余实四万七千六百陆十肆倍初商得二为亷注三位实下退列纵数以相并亷二与纵○无并仍是二次商三纪右注次防下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚余实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为亷空末防位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以亷六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以亷首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末防下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得濶一百三十六长一千二百二十四
　　通曰凡图最上为余实最下为并纵并纵者并亷隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半之即濶然其变不可不知耳求长亦然
　　二减积开平方法
　　减积者于实内减股之积以就其方也【股即长也】式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
　　十四术列实防位另将不及壹
　　十贰为减积以商数乗之而列
　　乗数初商二纪右注首防下乗
　　减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰余六次位实陆减肆余二余实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位余实六变二完首叚余实二百二十肆倍初商二得四为亷注次位实下次商四纪右注末防下为隅以隅乗减积得肆十捌亦随位列之相对减余实首次两位余实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位余实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共余实一百七十六然后以次商与亷隅呼除四四除一十六抺首位余实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得濶二十四通曰凡定商数须减积后余实视有商数之自乗否勿以原实定商也初商列初防下初乗首数亦随初防下列之二叚亷退初商一位则次乗亦退一位也
　　平方积较求长
　　积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二以较为负纵乗上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方
　　一负纵益积开平方法
　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三
　　十六术列实防位另列不及壹
　　十二为负纵而初商则约所増
　　负纵之乗商之如首位捌开法
　　宜用二因有负纵之乗乃商三
　　纪右注首位下为方法而以乗负纵得叄十陆注叄于首位陆于次位以并原积捌陆【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陆变二首位捌变二进位置一【实首左位】益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚余实三百二十肆倍三作六为亷注次位次商六纪右以乗负纵得防十贰退位列之【退初乗位】以并余积三二肆【作三百二十四】得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乗之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六
　　通曰甲戊己丁形原积八
　　百六十四也戊乙丙己形
　　益积四百三十二也甲戊
　　濶二十四甲乙长三十六
　　戊乙乃长濶之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
　　即长也初商三十自乗得九百
　　二亷濶六长三十又各相乗得
　　一百八十隅六自乗得三十六
　　又式　术直积贰十叄万○肆
　　百长濶较防百贰十列实防位
　　列较为负纵初商九【九百】纪右注
　　首防下为方法以乗负纵得陆
　　肆捌【六万四千八百】以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚余实六八肆○○倍九得一十八为亷注八于次防之进位注一于首防下次商六【六十】亦乗负纵得肆叄贰【四千三百二十】以益余积退位列之共加得余实为一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本叚防下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚余一防作○得长九百六十
　　二带减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三【三十】纪右以负纵减之余一十八挨注首防下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三
　　除三一上六变三【先呼一三亦可】余实三百二十肆乃于另列初商三右加○【作三十】以并方法得四十八为亷注次位次商六纪右注末防下为隅而并入亷内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六　若商数减后首位多于实首亦照例退位
　　通曰初商三十减纵得十八相乗除积五百四十次商六并方法为亷四十八【二亷共长四十八也】相乗除积二百八十八隅六自乗除
　　积三十六
　　又式有两方共积若干第云以小方之一靣乗大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乗得叄千壹百贰十先倍两方乗积得六千二百四十以减共积余二百八十九平方开之得较壹十防乃列二方乗数为实以较为负纵初商六【六十】纪右以负纵减之余四十三注初防下为方法呼初商四六除二十四三六除
　　一十八余实五百四十又于初商六右加○【作六十】以并方法得一百○三为亷注下【以末三齐次防止】次商五纪右注尾防为隅并入亷内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八
　　通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乗丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而
　　后减之余乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八余乙子一十七
　　平方积和求濶
　　积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅其法有二或益隅于积乗负隅为方法又乗方法以益积曰带纵益隅开平方或减隅于积乗负隅以减纵命余纵以除实曰带纵负隅减纵开平方
　　一带纵益隅开平方法
　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四
　　术列实以和为带纵初商二【二十】纪右
　　注首防下自乗得四百为负隅以益
　　积共加得实一千二百陆十肆乃以
　　初商呼带纵曰二陆除实一千二百
　　余实陆十肆倍方得四为亷注次位次商四纪右注尾防为隅以次商乗亷四十得一百六十又以次商乗隅四得一十六皆并入余实共加得余实二百四十乃以次商呼带纵曰四陆除实二百四十实尽得濶二十四
　　通曰甲乙丙丁形原积也丁丙
　　己戊形益隅方积也子方初商
　　二十自乗得四百丑寅二亷各
　　长二十与次商四相乗各得八十共为一百六十卯隅四自乗得十六共益积五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四为濶乙丙三十六为长乙至己共六十为和
　　又式　术又如直积贰万壹千陆百肆十捌长濶和贰
　　百玖十陆列实防位置和为
　　带纵初商一【一百】列右为初方
　　法注首防下自乗得一万以
　　益积首位贰变三乃以初方
　　法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○余实二千○肆十捌倍方得二为亷注退位次商三纪右为次方法注次防下为隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入余积三上○变九二上二变八共加得余实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二余实六十捌又倍次方法得六为次亷注退位【第四位也】并入前亷二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾防下为隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入余积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得余实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得濶一百三十二
　　二带纵负隅减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四
　　术列实防位置和为纵方初商二纪
　　右注首防下以乗负隅一仍得二为
　　方法以减纵陆○余四○随首位注
　　之呼初商二四除八抺捌余实陆十肆倍方二得四为亷注退位亦乗负隅一仍得四【四十】以减纵陆○余二○注下次商四纪右注末防下为隅又以隅四减余纵二十余一十六附注乃与次商相呼一四除四四六除二十四实尽得濶二十四　或初商除实讫即以初商再减余纵以所余为纵方以次商再减为下法亦可盖倍初商为亷以减原纵与以初商减余纵之余数相同即可不立亷矣
　　通曰甲乙癸子全形乃和与濶相乗之形也内甲乙丙
　　己戊丁磬折形为原积此外
　　皆负积也初叚减壬癸纵二
　　十次叚减丙辛纵二十又减
　　辛壬纵四余乙丙纵十六乃原积形内之数故不减今以原积形内之干形补原积形外之坤形而成甲乙辛寅形得濶二十四长三十六
　　又式　术列实陆万玖千叄百陆十长濶和防百捌十贰为纵初商一【一百】乗负隅一仍得一以减纵防余六随首列余纵六捌贰与初商相呼一六除六一捌除八一
　　贰除二余实一千一百陆十倍方得
　　二为亷【二百】注退位以减纵余五捌贰
　　退位附列而纵余五多于实余一遇
　　此纪○于右作次商倍方一○得二
　　为亷【二百】注次防下以减纵余五捌贰退位附列三商二注尾防为隅以余纵与次商相呼二五除一十二捌除一十陆实尽得濶一百二十
　　通曰纵尾贰须先以隅二减之纵余止五捌○也又式　术若以积与虚长濶共若干而欲求其濶及长者如直积捌百陆十肆三长五濶共二百二十八求濶者以三乗直积得贰千伍百玖十贰为实【三长原有三积故以三乗】五为负
　　隅【暗添五濶之积】以共贰百贰十捌为带纵列实防位初商二乗负隅五得一十【一百】以减纵首贰余一随首列余纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六余实三十贰又以初商二乗负隅五得一十【一百】减余纵首一止余纵贰捌【即倍方为亷也】次商四乗负隅五得二十再减余纵贰十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十贰实尽得濶二十四
　　如右式求长者以五乗直
　　积得肆千叄百贰十为实
　　以三为负隅以共贰百贰
　　十捌为带纵初商三以乗负隅三得九【九十】以减纵余纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四余实一百八十复以初商三乗负隅三得九【九十】以减余纵止余四十捌次商六亦乗负隅三得一十八以减余纵止余三十注余实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六
　　又式　术又有以积与虚长濶和较共若干求濶及长者如直积八百六十四一长二濶三和四较共叄百壹
　　十贰数乃约三和自具三长
　　三濶以并一长二濶共四长
　　五濶又以四较益濶为四长
　　共得八长而余一濶求濶者以八长乗直积得陆千玖百壹十贰为实以一濶为负隅以共数为带纵初商二以乗负隅一仍得二【十也】以减纵余纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四余实一○七贰又以初商二乗负隅一得二十以减余纵止余二百七十贰次商四又乗负隅一得四以减余纵止余二百六十八列余实下与次商相呼除实尽得濶二十四　求长者以一濶乗直积为实以八长为负隅也当用翻法详后
　　又式　术又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶者如直积二千三百五十二只云长取八之五濶取三之二并得六十三以两母互乗三八得二十
　　四以乗并得之六十三得壹千
　　伍百壹十贰为带纵而以长母
　　八乗濶子二得十六为濶率以
　　濶母三乗长子五得十五为长
　　率则知此带纵数内具有长十五濶十六也求濶者以长一十五乗直积得叄万伍千贰百捌十为实以濶一十六为负隅初商四【十也】乗负隅得六百四十以减纵余纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八余实四百又以初商所乗隅算之六百四十减余纵止余二百三十贰次商二乗负隅得三十二亦减余纵止余二百列余实下与次商相呼二二除四实尽得濶四十二以除直积二千三百五十二得长五十六
　　通曰以长十五乗积为实有三防而直积之二三五二止两防仍以直积定商位故知初商为十也余纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位
　　平方积和求长
　　积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也
　　带纵负隅减纵翻法开平方法
　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乗负隅仍得三十以减纵余三十列实下与初商相呼三三应除九百
　　【三十其三十也】而实数不足遇此则翻列九
　　百于原积之上而以原积捌百陆十
　　肆减之余负积三十六即为余实再
　　以初商乗负隅之三十减余纵减尽乃约余实得次商六以乗负隅一仍得六注尾防呼次商六六除三十六
　　实尽得长三十六
　　通曰己丙丁戊形初商余纵相乗之
　　九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折
　　形原积八百六十四余壬丙辛庚形
　　三十六在原积之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得濶二十四长三十六
　　又式　术如直积叄千肆百伍十陆长濶和壹百贰十
　　求长者列实以和为纵一为负隅
　　初商七乗负隅仍得七十减纵余
　　五十与初商相呼五七应除三千
　　五百而原积不足乃翻以三千五
　　百列上而以原积减之余四十四为余实又以初商所乗之七十减余纵而余纵亦不足乃翻以余纵五十减初商乗数七十余二十为亷注三位下而纵又为负次商二注尾防为隅亷隅共二十二呼次商除之实尽得长七十二
　　又式　术有虚立长濶和较求长者如直积捌百陆十肆一长二濶三和四较共叄百壹十贰依前法衍得八
　　长一濶以一濶乗直积为实
　　捌长为负隅共数为纵方列
　　实初商三乗隅捌得二百四
　　十以减纵余七十贰列实下呼初商三七应除二千一百六十而积不足乃翻以二一六列上【二乃千数故进位】而以积减之余负积一千二百九十六即为余实又以初商所乗之二百四十减余纵而余纵亦不足亦翻以余纵七十贰减之余负纵一百六十八次商六乗负隅捌得四十八又并入负纵一百六十八得二百一十六列实下以呼次商除之实尽得长三十六
　　通曰凡减法原以小减大故宜用翻法也
　　平方带纵诸变
　　纵方之术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷此外有积与二濶较及长濶较求濶者皆以错综为用以取其条理也衍之于左
　　一带纵减积开平方法
　　式三广田积贰千肆百陆十伍歩云中广不及南广八
　　歩亦不及北广三十六歩又不及
　　正长六十七歩问三广各几何长
　　几何曰中广十八歩南广二十六
　　歩北广五十四歩正长八十五歩
　　术列积为实并不及二广共四十四以四除之得壹十壹为带纵以不及长陆十防为减积初商一【十也】并带纵得二十壹随首防列之为方法以乗减积得一千四百○七依千百位列实下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七余实一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚余实八四八倍初商一作二为亷并带纵壹十壹及减积陆十防共九十八为方法注退位次商八注末防并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八实尽得中广一十八各加不及合问
　　通曰初叚以乗减积数依列位并方法为一六一七呼除亦便
　　二减积带纵负隅并纵开平方法
　　式大小二方共积七千五百九十二大方面较小方面
　　多二十八问大小方面各几何
　　曰大方面七十四小方靣四十
　　六术较自乗得七百八十四以
　　减积余陆千捌百○捌为实倍较得伍十六为带纵二为负隅初商四乗负隅二得八十并纵共一百三十六为方法注积下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四余实一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六为亷注退位次商六亦乗负隅二得一十二为隅并入亷内共二百二十八呼次商除之实尽得小方靣四十六加较得大方靣七十四
　　又式　术如大小三方共积四千七百八十八大方面
　　多小方靣三十中方面多小
　　方面十二【大方面多中方面十八也】求各
　　面者以较三十自乗得九百
　　以较十二自乗得一百四十四相并得一千○四十四以减共积余叄千防百肆十肆为实并二较得四十二倍得捌十肆为纵以三为负隅初商二乗负隅三得六十并纵共一百四十四为方法列实下呼初商一二除二二四除八又二四除八余实八百六十肆倍初乗隅六十得一百二十为亷并纵得二百○四注退位为方法次商四乗负隅三得一十二为隅并方法共二百一十六呼次商除实尽得小方靣二十四加较十二得中方面三十六又加较十八得大方面五十四
　　通曰负隅用二者二方故也用三者三方故也
　　三隅算开平方法
　　凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算以求之
　　式方圆共积二千二百六十八方面圆径相等问靣径
　　俱几何曰方面圆径俱三十六
　　术四乗原积得玖千○防十贰
　　为实列七为隅算初商三乗隅
　　算七得二百一十为方法呼初商二三除六一三除三余实二七防贰倍初商得六十为亷次商六乗隅算七得四十二为隅又以次商六乗亷六十得三百六十并隅得四百○二又并入亷六十共四百六十二呼次商除实尽得方面圆径俱三十六又术以四乗原积得九千○七十二并方四圆三得七为法除之得一千二百九十六为实平方开之得三十六更防
　　四带纵隅益积开平方法
　　式方不知积但以长乗一长二濶三和四较之共数得肆万肆千玖百贰十捌长濶较贰十肆问长几何曰七
　　十二术列所乗共数
　　为实置较为益纵约
　　三和得三长三濶以
　　并一长二濶得四长
　　五濶又并四较取四濶为长总得八长一濶共九叚以九为负隅初商七乗负隅九得六百三十为隅法又以初商七乗益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一余实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乗负隅九得一十八为隅法另以次商二乗益纵二十四得四十八并入余实共加得余实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二
　　五带纵负隅减纵开平方法
　　同右法或损长以就之则用此也
　　式一长二濶三和四较以长乗之得肆万防千贰百壹十贰长濶较二十八问长几何曰七十四术列实较为
　　纵如右式推得九为负隅初商
　　七乗负隅九得六百三十为方
　　法内减带纵二十八余六百○
　　二退位注呼初商六七除四十
　　二二七除一十四余实五○七贰倍方法六百三十得一千二百六十内减带纵二十八余一千二百三十二为亷列余实下次商四乗负隅九得三十六为隅法并亷共一二六八呼次商除实尽得长七十四
　　六减积带纵隅益积开平方法
　　又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较之共数得若干求长者用此
　　式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗之得二万
　　九千九百五十二其较二十
　　四问长几何曰七十二术以
　　较自乗得五百七十六以减
　　原乗积余贰万玖千叄百防

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